O enunciado dá um sistema dinâmico linear no tempo contínuo com matriz de estado A, entrada u(t) e saída y(t). O que é pedido: encontrar o(s) valor(es) de a para que o sistema seja instável. Informações fornecidas:
Queremos caracterizar a instabilidade do sistema em função de a.]
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para um sistema linear contínuo \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t), a estabilidade do equilíbrio x=0 do sistema livre (sem entrada, ou seja u\equiv0) é determinada pelos autovalores (eigenvalores) da matriz A. Mais precisamente:
Se algum autovalor de A tem parte real positiva, a solução homogênea \;x(t)=\mathrm{e}^{At}x(0)\; cresce exponencialmente e o sistema é instável.
Se todos os autovalores têm parte real negativa, o sistema é assintoticamente estável.
Se existe autovalor com parte real zero e multiplicidade/forma não diagonalizável pode haver instabilidade marginal (não entraremos aqui em casos especiais porque não é necessário neste exercício).
Portanto, para decidir instabilidade basta calcular os autovalores de A e verificar se algum tem parte real positiva.
Passo 3
Vamos calcular o polinômio característico de A, isto é \det(A-\lambda I). Primeiro escrevemos A-\lambda I:
Note que a primeira linha tem apenas o primeiro elemento não nulo. Podemos calcular o determinante expandindo pela primeira linha: o determinante será o elemento (-1-\lambda) vezes o determinante do menor obtido ao remover primeira linha e primeira coluna. Assim
Observe algo crucial: esses autovalores não dependem do parâmetro a. Isso ocorre porque o elemento a está numa posição que não influenciou o determinante ao expandirmos pela primeira linha (o bloco superior direito com zeros torna o cálculo independente de a).
Passo 6
Conclusão sobre estabilidade: como existe um autovalor \lambda=2 com parte real positiva, a matriz A tem um modo instável. Logo o sistema livre \dot x = A x é instável. E, como vimos, isso independe do valor de a.
Resposta
Qualquer a\in\mathbb{R} (o sistema é instável para todo valor de a porque A tem o autovalor \lambda=2>0).