Um sistema em tempo discreto recebe uma sequência de sinais de entrada x[n] e produz uma sequência de saída y[n] conforme a seguinte equação:
y[n]= \begin{cases}x[n], & \text { se } n \text { é par, } \\\\ 2 x[n], & \text { se } n \text { é ímpar, }\end{cases}ééí
O sistema é causal? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define um sistema em tempo discreto cujo sinal de saída é
y[n]= \begin{cases} x[n], &\text{se \(n\) é par},\\ 2x[n],&\text{se \(n\) é ímpar}. \end{cases}ééí
O conteúdo da matéria aqui é a causalidade de sistemas: precisamos verificar se, para todo n, y[n] depende apenas de valores de entrada x[k] com k \le n.

Passo 2

A definição de sistema causal é:
um sistema é causal se, em qualquer instante n, sua saída y[n] depende somente de valores presentes e passados da entrada, ou seja, de x[k] para k \le n. Se em algum ponto y[n] dependesse de x[k] com k>n, o sistema seria não causal.

Passo 3

Analisando a fórmula dada:
  • Quando n é par temos y[n]=x[n].
  • Quando n é ímpar temos y[n]=2x[n].
Em nenhum dos dois casos aparece x[k] com k>n ou k<n; a saída em cada instante n depende apenas de x[n], que é o valor presente da entrada.

Passo 4

Como y[n] utiliza apenas o valor atual x[n] (nenhum valor futuro da entrada), o sistema satisfaz exatamente a definição de causalidade.

Resposta

Sim. O sistema é causal, pois em cada instante n a saída y[n] depende somente do valor presente da entrada x[n] e não de valores futuros.

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