B.5.2 Considere a resposta ao degrau unitário do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:
G(s)=\frac{1}{s(s+1)}
Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência de malha aberta
G(s)=\frac{1}{s(s+1)}
com realimentação unitária. A função de transferência em malha fechada é
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{1}{s(s+1)+1}=\frac{1}{s^{2}+s+1}.
Reconhecemos um sistema de segunda ordem padrão
T(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}
que descreve completamente a resposta ao degrau unitário.

Passo 2

Comparando
s^{2}+s+1 \quad\text{com}\quad s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}
vemos que
\omega_{n}^{2}=1\;\Rightarrow\;\omega_{n}=1\quad\text{e}\quad 2\zeta\omega_{n}=1\;\Rightarrow\;\zeta=\tfrac{1}{2}=0{,}5.

Passo 3

O tempo de pico t_{p} é o instante do primeiro máximo sobressinal e, para ζ<1,
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}
Logo
t_{p}=\frac{\pi}{1\cdot\sqrt{1-(0{,}5)^{2}}} =\frac{\pi}{\sqrt{0{,}75}} =\frac{\pi}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\approx3{,}63\\ \text{s}.

Passo 4

O máximo sobressinal M_{p} (em fração da resposta final) vem de
M_{p}=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}
Em porcentagem,
M_{p}=e^{-\frac{\pi\cdot0{,}5}{\sqrt{0{,}75}}} \approx e^{-1{,}8138}\approx0{,}163 \quad\Rightarrow\quad16{,}3\%\,.

Passo 5

O tempo de subida t_{r} (tempo até o primeiro atingimento de 100 % da saída) usa
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}} \quad,\quad \varphi=\operatorname{arccos}\zeta
Logo
\omega_{d}=1\cdot\sqrt{0{,}75}=0{,}866 \quad,\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}5)=\frac{\pi}{3}
e
t_{r}=\frac{\pi-\varphi}{\omega_{d}} =\frac{\pi-\frac{\pi}{3}}{0{,}866} =\frac{\tfrac{2\pi}{3}}{0{,}866} \approx2{,}42\\ \text{s}.

Passo 6

O tempo de acomodação t_{s} (2 % de banda) é dado por
t_{s}\approx\frac{4}{\zeta\,\omega_{n}} =\frac{4}{0{,}5\cdot1} =8\\ \text{s}.

Resposta

Tempo de subida t_{r}\approx2{,}42\\ \text{s}
Tempo de pico t_{p}\approx3{,}63\\ \text{s}
Máximo sobressinal M_{p}\approx16{,}3\%
Tempo de acomodação t_{s}\approx8\\ \text{s}

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