Considere a seguinte função de transferência:
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+6}{s^{2}+5 s+6}
Obtenha a representação no espaço de estados desse sistema na forma canônica observável.

Passo 1

O enunciado pede a representação no espaço de estados na forma canônica observável da função de transferência
\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{s+6}{s^2 + 5s + 6}.
O conteúdo envolve converter um polinômio de entrada e saída em uma realização de estado usando a forma observável: basta extrair os coeficientes do denominador e do numerador e montar as matrizes a partir da transposta do companheiro controlável.

Passo 2

Extraímos os coeficientes do denominador s^2 + 5s + 6 e do numerador s + 6:
a_1 = 5,\quad a_0 = 6,\quad b_1 = 1,\quad b_0 = 6.

Passo 3

Na forma canônica observável (que é a transposta da forma controlável), temos as matrizes
A = A_c^T,\quad B = C_c^T,\quad C = B_c^T,\quad D=0,
onde em forma controlável
A_c = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -a_0 & -a_1\end{pmatrix},\; B_c = \begin{pmatrix}0 \\\\ 1\end{pmatrix},\; C_c = \begin{pmatrix}b_0 & b_1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculando A_c, B_c, C_c e depois transpondo:
A_c = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -6 & -5\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A = A_c^T = \begin{pmatrix}0 & -6 \\\\ 1 & -5\end{pmatrix},
C_c = \begin{pmatrix}6 & 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; B = C_c^T = \begin{pmatrix}6 \\\\ 1\end{pmatrix},
B_c^T = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; C = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix},
e D=0.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 0 & -6\\\\ 1 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 6\\\\ 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = 0.

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