Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais são causais e quais são não causais.
y(t)=x(a t), \quad a>1

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um sistema com entrada x(t) e saída dada por
y(t)=x(a\,t),
onde a>1. O objetivo é verificar se esse sistema é causal ou não. O conteúdo aqui é a definição de causalidade de sistemas de tempo contínuo.

Passo 2

Um sistema é causal se, para todo instante t_{0}, a saída y(t_{0}) depender apenas de valores de entrada x(\tau) em instantes \tau tais que \tau \le t_{0}. Em outras palavras, não pode haver dependência de valores futuros de x.

Passo 3

No nosso caso, em t=t_{0} temos
y(t_{0})=x\bigl(a\,t_{0}\bigr).
Isso significa que a saída em t_{0} utiliza o valor de entrada em \tau = a\,t_{0}. Para ser causal precisamos de
a\,t_{0} \le t_{0} \quad\text{para todo }t_{0}.

Passo 4

Como a>1, sempre que t_{0}>0 vale a\,t_{0}>t_{0}. Logo, para instantes positivos a saída depende de valores futuros de x, o que viola a definição de causalidade. Portanto, o sistema não é causal.

Resposta

O sistema y(t)=x(a\,t) com a>1 é não causal.

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