Sistemas equivalentes de forças

  • Dois sistemas de forças, que atuam sobre um corpo, são equivalentes se, e somente se, as somas das forças e as somas dos momentos em relação a um dado ponto O das forças dos dois sistemas forem iguais.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz basicamente que temos dois sistemas de forças atuando num corpo. Ele quer que a gente mostre que esses dois sistemas são “equivalentes” — ou seja, se e só se a soma vetorial de todas as forças for igual nos dois sistemas e, além disso, a soma dos momentos (torques) em relação a um ponto O também for igual nos dois sistemas.
Conteúdo: está dando base em estática (soma de forças e soma de momentos).
O que vamos precisar:
  • Saber somar vetores de força;
  • Calcular momento (ou torque) de uma força em relação a um ponto, usando vec MO = vec r times vec F;
  • Entender a ideia de “sistema equivalente” (mesmas resultantes).

Passo 2

Primeiro, soma das forças.
Seja o primeiro sistema com forças vec F1, vec F2, , vec Fn e o segundo com vec F'1, vec F'2, , vec F'm.
A gente calcula a resultante de cada sistema assim:
vec R = sumi=1^n vec Fi e vec R' = sumj=1^m vec F'j
Para serem equivalentes, precisa rolar vec R = vec R'.

Passo 3

Agora, soma dos momentos em relação ao ponto O.
Para cada força vec Fi do primeiro sistema, escolhemos o vetor posição vec ri que vai de O até a reta de ação de vec Fi. Então o momento dessa força em relação a O é
vec MO,i = vec ri times vec Fi
Somamos tudo:
vec MO = sumi=1^n (vec ri times vec Fi)
Faz o mesmo pro segundo sistema, com vec r'j e vec F'j:
vec M'O = sumj=1^m (vec r'j times vec F'j)
Para equivalência, vale vec MO = vec M'O.

Passo 4

Juntando tudo: dois sistemas são equivalentes se e somente se suas resultantes coincidirem e seus momentos em O também.
Ou seja, as duas condições simultâneas:
  1. sumi=1^n vec Fi ;=;sumj=1^m vec F'j,
  2. sumi=1^n (vec ri times vec Fi);=;sumj=1^m (vec r'j times vec F'j).

Resposta

Dois sistemas de forças são equivalentes quando
  1. a soma vetorial das forças de um é igual à soma vetorial das forças do outro, e
  2. a soma dos momentos em relação a um ponto O de um é igual à soma dos momentos do outro.

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