Sob Condições normais de operação, o motor elétrico aplica um torque de 2,4 \mathrm{kN} . \mathrm{m} no eixo AB . Sabendo que os eixos possuem seção transversal cheia, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo C D.

Passo 1

O enunciado descreve um eixo com quatro trechos cilíndricos que sofrem torção:
entre A e B o diâmetro é 54\text{ mm},
entre B e C é 46\text{ mm},
entre C e D é 46\text{ mm},
entre D e E é 40\text{ mm}.
O motor aplica um torque de 2,4\text{ kN\cdotm} em A, e nos discos em B, C e D são aplicados torques resistidos de 1,2\text{ kN\cdotm}, 0,8\text{ kN\cdotm} e 0,4\text{ kN\cdotm}, respectivamente.
Queremos a tensão de cisalhamento máxima na seção entre C e D.
O conteúdo envolvido é torção de eixos circulares, usando a relação entre torque interno e tensão cisalhante.

Passo 2

Para cada trecho do eixo, usamos equilíbrio de torques, subtraindo os torques resistidos pelos discos à medida que avançamos de A para E. Chamando de T_{XY} o torque na seção entre os pontos X e Y:
  • Em AB temos T_{AB}=2,4\text{ kN\cdotm} (fornecido pelo motor).
  • Em BC (logo após B) T_{BC}=T_{AB}-T_B=2,4-1,2=1,2\text{ kN\cdotm}.
  • Em CD (logo após C) T_{CD}=T_{BC}-T_C=1,2-0,8=0,4\text{ kN\cdotm}.
  • Em DE (logo após D) T_{DE}=T_{CD}-T_D=0,4-0,4=0.

Passo 3

O torque na seção CD é portanto
T = 0,4\text{ kN\cdotm}.

Passo 4

A tensão de cisalhamento máxima num eixo circular sob torção é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}
onde c=d/2 e J=\frac{\pi d^4}{32}. Em termos de diâmetro d resulta
\tau_{\max} =\frac{16\,T}{\pi\,d^3}.
Neste caso, d=46\text{ mm} e T=0,4\text{ kN\cdotm}=0,4\times10^3\text{ N\cdotm}=4\times10^5\text{ N\cdotmm}. Assim,
\tau_{\max} =\frac{16\,(4\times10^5)}{\pi\,(46)^3} \approx20{,}9\;\text{N/mm}^2.

Resposta

A tensão de cisalhamento máxima na seção CD é aproximadamente 21\text{ MPa}.

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