(1,0) O que é transmissibilidade de deslocamento? Apresente e explique o comportamento típico do gráfico dessa função.

Passo 1

O enunciado pergunta o que é a transmissibilidade de deslocamento de um sistema massa-mola-amortecedor submetido a vibração harmônica de base e pede para apresentar e explicar o comportamento típico do gráfico dessa função. O conteúdo é vibrações forçadas de um grau de liberdade e usaremos a definição de transmissibilidade em função da razão de frequências e da razão de amortecimento.

Passo 2

Definimos a razão de frequência
r = \frac{\omega}{\omega_n}
onde \omega é a frequência de excitação e \omega_n a frequência natural não amortecida. A razão de amortecimento é
\displaystyle \zeta. A transmissibilidade de deslocamento T_d é a razão entre a amplitude de deslocamento da massa X e a amplitude de deslocamento da base Y em regime harmonizado.

Passo 3

A expressão teórica de T_d é
T_d(r,\zeta) = \frac{\sqrt{1 + (2\,\zeta\,r)^2}} {\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\,\zeta\,r)^2}}.
Isso vem da solução em regime permanente da equação
\ddot x + 2\zeta\omega_n\dot x + \omega_n^2 x = \omega_n^2\,y(t)
com y(t)=Y\sin(\omega t).

Passo 4

Para r\ll1 (região estática) tem-se (1-r^2)\approx1 e 2\zeta r\approx0, logo
T_d\approx1,
ou seja, massa e base se movem quase em bloco (sem isolamento).

Passo 5

Em r\approx1 ocorre ressonância amortecida e T_d atinge valor máximo
T_{d,\max} = T_d(1,\zeta) = \frac{1}{2\,\zeta}.
Para \zeta<1/\sqrt2 há pico bem pronunciado; para \zeta\ge1/\sqrt2 o pico desaparece e a curva é monotônica.

Passo 6

Para r>\sqrt2 entra-se na região de isolamento, onde T_d<1 e decresce conforme
T_d\sim\frac{1}{r^2} \quad(\text{para }r\to\infty).

Resposta

A transmissibilidade de deslocamento T_d é a razão entre a amplitude de deslocamento da massa e a da base num sistema massa–mola–amortecedor sujeito a excitação harmônica na base.
Seu gráfico típico em função da razão de frequência r=\omega/\omega_n apresenta três regiões:
(a) para r\ll1, T_d\approx1 (sem isolamento);
(b) em r\approx1, pico de ressonância T_{d,\max}=1/(2\zeta), cuja altura decresce com o amortecimento \zeta;
(c) para r>\sqrt2, isolamento dinâmico ( T_d<1), decaindo aproximadamente como 1/r^2.

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