Sobre a função
, responda:
(a) ( 1,0 ponto) É contínua em
? Juștifique!
(b) ( 1,0 ponto) É derivável em
? Justifique!
(a) ( 1,0 ponto) É contínua em
(b) ( 1,0 ponto) É derivável em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas em
:
- (a) verificar se
é contínua em e justificar; - (b) verificar se
é derivável em e justificar.
Informações dadas importantes: a função é a função valor absoluto deslocada para a esquerda em 3 unidades, ou seja,
. Não há outras informações externas.
Passo 2
Entender a função de modo que dá para trabalhar com limites e derivadas: usar a definição por partes da função valor absoluto. Lembrando que, para qualquer real
Aplicando
ambas as expressões dão
, então
.]
Passo 3
Definição de continuidade que vamos usar (explicando devagar): uma função
é contínua em
se e somente se
Para que o limite
exista é necessário que os limites laterais existam e sejam iguais:
Então, para testar continuidade em
vou calcular os limites laterais e comparar com
.
Passo 4
Cálculo dos limites laterais em
.
Primeiro o limite pela esquerda (
). Para
temos
. Logo
Como
é uma função linear (contínua em toda parte), basta substituir
:
Agora o limite pela direita (
). Para
(ou
para a expressão) temos
. Então
Substituindo
(novamente por ser linear):
Passo 5
Comparação com o valor da função em
. Já vimos que
. Como
os limites laterais existem e são iguais, e igualam a
. Portanto, pela definição de continuidade,
é contínua em
.
Passo 6
Definição de derivada no ponto que vamos usar (devagarzinho):
é derivável em
se o limite
existe (é finito). Esse limite existe se e somente se os limites laterais do quociente também existem e são iguais:
Vou calcular esses dois limites para
.
Passo 7
Cálculo do limite lateral esquerdo do quociente diferencial, isto é
.
Quando
temos
, então usamos a expressão
. Assim
Como
, o quociente fica
Portanto o limite quando
é
Passo 8
Cálculo do limite lateral direito do quociente diferencial, isto é
.
Quando
temos
, então usamos
. Assim
Com
, o quociente é
Portanto
Passo 9
Conclusão sobre derivabilidade: os limites laterais do quociente diferencial são diferentes:
Como eles não coincidem, o limite
não existe. Logo
não é derivável em
.
Comentário intuitivo (sem novo cálculo): geometricamente
tem um “V” com vértice em
— há uma mudança brusca na inclinação (derivada à esquerda é
e à direita é
), por isso não existe derivada no vértice.
Resposta
(a) Sim.
é contínua em
.
(b) Não. não é derivável em
(as derivadas laterais são
e
, respectivamente).
(b) Não.