Sobre a função f(x)=|x+3|, responda:
(a) ( 1,0 ponto) É contínua em a=-3 ? Juștifique!
(b) ( 1,0 ponto) É derivável em a=-3 ? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=|x+3| e pede duas coisas em a=-3:
  • (a) verificar se f é contínua em a=-3 e justificar;
  • (b) verificar se f é derivável em a=-3 e justificar.
Informações dadas importantes: a função é a função valor absoluto deslocada para a esquerda em 3 unidades, ou seja, f(x)=|x+3|. Não há outras informações externas.

Passo 2

Entender a função de modo que dá para trabalhar com limites e derivadas: usar a definição por partes da função valor absoluto. Lembrando que, para qualquer real u\), \[|u|=\begin{cases} u, & u\ge 0,\\[4pt] -u, & u<0. \end{cases}
Aplicando u=x+3\] obtemos a representação por partes da nossa função. Escrevo isso explicitamente (essa fórmula vai ser usada para calcular limites e quocientes diferenciais): \[f(x)=|x+3|=\begin{cases} -x-3, & x<-3,\\[4pt] x+3, & x\ge -3. \end{cases}\] Observação: em \(x=-3 ambas as expressões dão 0, então f(-3)=0.]

Passo 3

Definição de continuidade que vamos usar (explicando devagar): uma função f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para que o limite \lim_{x\to a} f(x) exista é necessário que os limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Então, para testar continuidade em a=-3 vou calcular os limites laterais e comparar com f(-3).

Passo 4

Cálculo dos limites laterais em a=-3.
Primeiro o limite pela esquerda ( x\to-3^-). Para x<-3 temos f(x)=-x-3. Logo
\lim_{x\to-3^-} f(x)=\lim_{x\to-3^-}(-x-3).
Como -x-3 é uma função linear (contínua em toda parte), basta substituir x=-3:
\lim_{x\to-3^-}(-x-3) = -(-3)-3 = 3-3=0.
Agora o limite pela direita ( x\to-3^+). Para x>-3 (ou x\ge-3 para a expressão) temos f(x)=x+3. Então
\lim_{x\to-3^+} f(x)=\lim_{x\to-3^+}(x+3).
Substituindo x=-3 (novamente por ser linear):
\lim_{x\to-3^+}(x+3) = -3+3=0.

Passo 5

Comparação com o valor da função em a=-3. Já vimos que f(-3)=|{-3}+3|=0. Como
\lim_{x\to-3^-} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to-3^+} f(x)=0,
os limites laterais existem e são iguais, e igualam a f(-3). Portanto, pela definição de continuidade,
f é contínua em a=-3.

Passo 6

Definição de derivada no ponto que vamos usar (devagarzinho): f é derivável em a se o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe (é finito). Esse limite existe se e somente se os limites laterais do quociente também existem e são iguais:
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Vou calcular esses dois limites para a=-3.

Passo 7

Cálculo do limite lateral esquerdo do quociente diferencial, isto é \lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(-3+h)-f(-3)}{h}.
Quando h<0 temos -3+h<-3, então usamos a expressão f(x)=-x-3. Assim
f(-3+h) = -(-3+h)-3 = 3 - h - 3 = -h.
Como f(-3)=0, o quociente fica
\frac{f(-3+h)-f(-3)}{h}=\frac{-h-0}{h}=\frac{-h}{h}=-1\quad\text{(para }h<0\text{)}.
Portanto o limite quando h\to 0^- é
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(-3+h)-f(-3)}{h} = -1.

Passo 8

Cálculo do limite lateral direito do quociente diferencial, isto é \lim_{h\to 0^+}\dfrac{f(-3+h)-f(-3)}{h}.
Quando h>0 temos -3+h>-3, então usamos f(x)=x+3. Assim
f(-3+h)=(-3+h)+3 = h.
Com f(-3)=0, o quociente é
\frac{f(-3+h)-f(-3)}{h}=\frac{h-0}{h}=\frac{h}{h}=1\quad\text{(para }h>0\text{)}.
Portanto
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(-3+h)-f(-3)}{h}=1.

Passo 9

Conclusão sobre derivabilidade: os limites laterais do quociente diferencial são diferentes:
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(-3+h)-f(-3)}{h}=-1\qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to 0^+}\frac{f(-3+h)-f(-3)}{h}=1.
Como eles não coincidem, o limite \lim_{h\to 0}\dfrac{f(-3+h)-f(-3)}{h} não existe. Logo f não é derivável em a=-3.
Comentário intuitivo (sem novo cálculo): geometricamente f(x)=|x+3| tem um “V” com vértice em x=-3 — há uma mudança brusca na inclinação (derivada à esquerda é -1 e à direita é 1), por isso não existe derivada no vértice.

Resposta

(a) Sim. f é contínua em a=-3.
(b) Não. f não é derivável em a=-3 (as derivadas laterais são -1 e 1, respectivamente).