Sobre a transformada de Laplace:
Como se calcula a transformada de Laplace?
Como se calcula a transformada de Laplace?
Passo 1
O enunciado pede entender como se calcula a transformada de Laplace de uma função
, conteúdo de integrais impróprias e análise de convergência. Para isso, precisamos conhecer a definição da transformada, as condições de existência e os métodos para avaliar o integral resultante.
Passo 2
A definição da transformada de Laplace de uma função
, para
, é dada por
onde o parâmetro
é um número complexo. Esse integral é impróprio porque o limite superior é infinito.
Passo 3
Para a transformada existir,
deve ser piecewise contínua em cada intervalo finito de
e de ordem exponencial, isto é, existam constantes
e
tais que
A região de convergência é
.
Passo 4
O procedimento prático para calcular
é:
- Escrever o integral
- Se necessário, dividir
em soma de termos mais simples (por exemplo, polinômios, exponenciais, senos e cossenos). - Usar integração por partes ou tabelas de transformadas conhecidas.
- Verificar as condições de convergência ao final.
Passo 5
Exemplo para
:
Resposta
A transformada de Laplace de
é
avaliada como integral imprópria para
maior que a ordem exponencial de
.