Sobre a transformada de Laplace:
Como se calcula a transformada de Laplace?

Passo 1

O enunciado pede entender como se calcula a transformada de Laplace de uma função f(t), conteúdo de integrais impróprias e análise de convergência. Para isso, precisamos conhecer a definição da transformada, as condições de existência e os métodos para avaliar o integral resultante.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t), para t\ge0, é dada por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,f(t)\,\mathrm{d}t,
onde o parâmetro s é um número complexo. Esse integral é impróprio porque o limite superior é infinito.

Passo 3

Para a transformada existir, f(t) deve ser piecewise contínua em cada intervalo finito de [0,\infty) e de ordem exponencial, isto é, existam constantes M>0 e \alpha tais que
|f(t)|\le M\,e^{\alpha t}\quad\text{para todo }t\ge0.
A região de convergência é \Re(s)>\alpha.

Passo 4

O procedimento prático para calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s) é:
  1. Escrever o integral
\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t.
  1. Se necessário, dividir f(t) em soma de termos mais simples (por exemplo, polinômios, exponenciais, senos e cossenos).
  2. Usar integração por partes ou tabelas de transformadas conhecidas.
  3. Verificar as condições de convergência ao final.

Passo 5

Exemplo para f(t)=1:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,\mathrm{d}t =\Bigl[-\tfrac{1}{s}\,e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{1}{s},\quad\Re(s)>0.

Resposta

A transformada de Laplace de f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,f(t)\,\mathrm{d}t,
avaliada como integral imprópria para \Re(s) maior que a ordem exponencial de f.

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