Sobre a transformada de Laplace:
Qual a transformada de Laplace de uma convolução entre dois sinais?
Qual a transformada de Laplace de uma convolução entre dois sinais?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a propriedade da transformada de Laplace relativa à convolução de dois sinais causais
e
. O conteúdo principal é a definição de convolução e o uso da propriedade de troca de ordem de integração para a transformada de Laplace.
Passo 2
Vamos lembrar que a convolução de
e
é dada por
e a transformada de Laplace de um sinal
é
Aplicando essa definição a
, escrevemos
Passo 3
Agora usamos a propriedade de Fubini/Tonelli para trocar a ordem de integração no domínio
. Isso dá
Em seguida, fazemos a mudança de variável interna
, que implica
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim,
Passo 4
Substituindo de volta,
Reconhecemos cada integral como a transformada de Laplace de
e de
, respectivamente. Logo,
onde
e
.