Sociólogos podem obter três respostas possíveis para uma típica pergunta de levantamento como “Você acredita em Papai Noel?” - ou seja: sim, não, nenhuma opinião. Tendo isso em mente, a Sociomagnetic Computer Company decidiu construir um computador para processar os dados do levantamento.
Esse computador tem uma memória ternária, isto é, cada byte (tryte?) consiste em 8 trits, sendo que um trit contém um 0 , um 1 ou um 2 . Quantos trits são necessários para conter um número de 6 bits? Escreva uma expressão para o número de trits necessário para conter
bits.
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede duas coisas:
- Informação dada: um trit pode tomar três valores:
. Um conjunto de trits tem combinações possíveis. Um número de bits tem combinações possíveis. - Perguntas: (a) quantos trits são necessários para conter um número de
bits? (b) escrever uma expressão geral para o número de trits necessário para conter bits.
Passo 2
Entendendo o que significa “conter” um número de
bits.
- Um número de
bits pode representar diferentes valores (de a ). - Um conjunto de
trits pode representar diferentes valores (de a ).
Para quetrits sejam suficientes para representar qualquer número de bits devemos ter, necessariamente,
Isto é a condição básica: o número de estados possíveis com trits tem que ser pelo menos o número de estados que os bits pedem.
Passo 3
Resolver a desigualdade para
. Aplicamos logaritmo (qualquer base serve; aqui uso logaritmo natural
) para “trazer o expoente para baixo”:
Usando a propriedade
obtemos
Agora isolamos
:
Como
deve ser um número inteiro (número de trits inteiro), precisamos do menor inteiro
que satisfaça essa desigualdade. Isso é exatamente a função teto (ceiling). Assim a expressão exata para o menor
inteiro é
Também podemos escrever usando logaritmo na base
, usando
(troca de base):
Ambas as formas são equivalentes.
Passo 4
Aplicar ao caso
. Primeiro verificação direta com potências inteiras (sem log):
Comparando com potências de
:
Portanto
trits já produzem
estados, suficientes para os
estados dos
bits, enquanto
trits dão só
estados — insuficiente. Logo
.
Passo 5
Fazer a conta com logaritmo para confirmar numericamente (opcional, mostra como usar a fórmula):
e então
compatível com a verificação por potências.