Um solenóide estreitamente enrolado tem diâmetro de 0,4 \mathrm{~cm} e carrega uma corrente de 2,5 \mathrm{~A}. Quantas voltas ele deve ter para que o campo magnético no seu centro seja 1,272 \times 10^{-4} \mathrm{~T} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (sem resolver ainda):
  • Diâmetro do solenóide: 0{,}4\\ \text{cm}.
  • Corrente: I=2{,}5\\ \text{A}.
  • Campo magnético desejado no centro: B=1{,}272\times10^{-4}\\ \text{T}.
  • Pergunta: “Quantas voltas ele deve ter?” — ou seja, determinar o número de voltas N necessárias para que o campo no centro seja o valor dado.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar e por quê (aula rápida e intuitiva).
  • Para uma única espira circular de raio R que carrega uma corrente I, o campo magnético no centro vale
B_{\text{espira}}=\frac{\mu_{0}I}{2R},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e vale \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}.
  • Se tivermos N espiras muito próximas (um enrolamento “estreitamente enrolado” no mesmo raio), cada espira contribui praticamente da mesma forma, então o campo ao centro é N vezes o de uma só espira:
B=\frac{\mu_{0} N I}{2R}.
  • Nesta expressão:
    • \mu_{0} é a constante já dada;
    • N é o número de voltas (o que queremos);
    • I é a corrente;
    • R é o raio do solenóide (metade do diâmetro).
  • Vou usar essa fórmula porque o enunciado dá o diâmetro (logo o raio) e não dá comprimento do solenóide, e a hipótese de espiras estreitamente enroladas permite somar as contribuições das espiras: torna a resolução direta e é a forma elementar ensinada para o campo no centro de um conjunto de espiras concêntricas.

Passo 3

Converter unidades e isolar N.
  • Diâmetro =0{,}4\\ \text{cm}. Converter para metros e achar o raio:
\text{diâmetro}=0{,}4\\ \text{cm}=0{,}004\\ \text{m},\qquad R=\frac{\text{diâmetro}}{2}=0{,}002\\ \text{m}.ââ
  • A fórmula para B em função de N é
B=\frac{\mu_{0} N I}{2R}.
Isolando N:
N=\frac{2R\,B}{\mu_{0} I}.

Passo 4

Calcular numericamente passo a passo.
  • Primeiro calcular o numerador 2R\,B:
2R\,B = 2\cdot 0{,}002\\ \text{m}\cdot 1{,}272\times10^{-4}\\ \text{T} =0{,}004\cdot 1{,}272\times10^{-4} =5{,}088\times10^{-7}.
  • Agora o denominador \mu_{0}I:
\mu_{0}I=(4\pi\times10^{-7})\cdot 2{,}5 =10\pi\times10^{-7} =\pi\times10^{-6}\\ (\text{T}\cdot\text{m}).
Numericamente \pi\times10^{-6}\approx 3{,}1416\times10^{-6}.
  • Portanto
N=\frac{5{,}088\times10^{-7}}{\pi\times10^{-6}} \approx\frac{5{,}088}{3{,}1416}\times10^{-1} \approx0{,}1619\ldots
Arredondando razoavelmente,
N\approx0{,}162\\ \text{voltas}.

Passo 5

Interpretação e observações práticas (motivação e intuição).
  • O cálculo nos deu N\approx0{,}162, ou seja, menos de uma volta. Isso significa que uma única espira (uma volta inteira) já produziria um campo maior que o desejado.
  • Para comparar: o campo produzido por uma única volta seria
B_{1}=\frac{\mu_{0}I}{2R}\approx\frac{\pi\times10^{-6}}{0{,}004}\approx7{,}85\times10^{-4}\\ \text{T},
bem maior que 1{,}272\times10^{-4}\\ \text{T}.
  • Conclusão prática: não é possível ter “0,162 de uma volta” como uma volta física fracionária; se for obrigatório um número inteiro de voltas, a menor opção é N=1, mas isso produzirá um campo maior que o pedido. Para obter exatamente o campo pedido sem reduzir o número de voltas abaixo de 1, é preciso reduzir a corrente ou alterar o raio/geometria.

Resposta

\displaystyle N\approx0{,}162\\ \text{voltas}