Um solenoide está ligado a uma bateria que pode fornecer até 40 mA de corrente elétrica. Para que ele possa produzir um campo magnético de intensidade 90 mT, enrolado num tubo de 20 cm, quantas voltas seriam necessárias? Se for colocado no interior desse solenoide um material ferroso (como uma barra de ferro) cuja permeabilidade magnética vale 16 ⋅ 10−4 T · m/A, quantas voltas seriam necessárias para obter o mesmo campo magnético?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre solenoides e campos magnéticos! A gente vai trabalhar com eletromagnetismo, especificamente com a relação entre corrente elétrica, número de voltas e o campo magnético gerado por um solenoide. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do campo magnético em um solenoide e entender como a presença de um material ferroso pode alterar esse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantas voltas são necessárias para o solenoide produzir um campo magnético de 90 mT sem nenhum material especial no interior. A fórmula que relaciona o campo magnético $ B $, a corrente $ I $, o número de voltas $ N $, e o comprimento do solenoide $ l $ é:
B
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo, que vale $ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $
  • $ B $ é o campo magnético (90 mT = 0,09 T)
  • $ I $ é a corrente elétrica (40 mA = 0,04 A)
  • $ l $ é o comprimento do solenoide (20 cm = 0,2 m)
Queremos encontrar $ N $, então vamos isolar ele na fórmula:
I

Passo 3

Vamos agora substituir os valores na fórmula:
N = 0,09 , T times 0,2 , m4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times 0,04 , A
Primeiro, calcula o denominador:
4pi times 10^-7 times 0,04 = 5,0265 times 10^-8 , Tcdotm/A
Agora, o numerador:
0,09 times 0,2 = 0,018 , Tcdotm
Dividindo os dois:
N = 0,0185,0265 times 10^-8 approx 358,4 times 10^3
Então, são necessárias aproximadamente 358.400 voltas.

Passo 4

Agora, vamos considerar que colocamos um material ferroso dentro do solenoide. Esse material tem uma permeabilidade magnética $ \mu $ de $ 16 \times 10^{-4} , T\cdotm/A $. A fórmula atualizada do campo magnético fica:
mu
Queremos o mesmo campo magnético de 0,09 T, então isolamos $ N $:
16 times 10^-4 , Tcdotm/A

Passo 5

Substituindo os valores:
N = 0,09 , T times 0,2 , m16 times 10^-4 , Tcdotm/A times 0,04 , A
Calculando o denominador:
16 times 10^-4 times 0,04 = 6,4 times 10^-5 , Tcdotm/A
E o numerador continua:
0,09 times 0,2 = 0,018 , Tcdotm
Dividindo:
N = 0,0186,4 times 10^-5 approx 281,25
Então, são necessárias aproximadamente 281 voltas.

Resposta

Para produzir um campo magnético de 90 mT com uma corrente de 40 mA em um solenoide de 20 cm, são necessárias cerca de 358.400 voltas. Se colocarmos um material ferroso com permeabilidade magnética de 16 times 10^-4 , Tcdotm/A no interior do solenoide, serão necessárias aproximadamente 281 voltas para obter o mesmo campo magnético.

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