Um solenóide de 0,3 \mathrm{~m} de comprimento é enrolado com duas camadas de fio: a camada interna tem 200 voltas e a camada externa tem 250 voltas. A corrente é de 3 A na mesma direção em ambas as camadas. Calcule o campo magnético em um ponto próximo do centro do solenóide.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos) e pede o que calcularemos:
  • Comprimento do solenóide: L = 0,3\\ \mathrm{m}.
  • Número de voltas da camada interna: N_1 = 200.
  • Número de voltas da camada externa: N_2 = 250.
  • Corrente em ambas as camadas (mesma direção): I = 3\\ \mathrm{A}.
    O que se pede: calcular o campo magnético em um ponto próximo do centro do solenóide.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para um solenóide longo e próximo ao seu eixo (especialmente perto do centro), o campo magnético ao longo do eixo é bem aproximado por
B = \mu_0\, n\, I,
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, com valor \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • n é o número de voltas por unidade de comprimento (turns per meter): n = \dfrac{N}{L}.
  • I é a corrente que percorre as voltas.
  • Breve justificativa física (sem pular): essa fórmula vem de aplicar a Lei de Ampère a um contorno que percorre o interior do solenóide. A corrente total atravessando a espira equivalente por comprimento L é N I; a lei de Ampère dá B L = \mu_0 N I, daí B = \mu_0 (N/L) I = \mu_0 n I.
  • Superposição: como há duas camadas com a mesma corrente e voltas alinhadas ao mesmo eixo, o campo total é a soma dos campos gerados por cada camada. Portanto podemos somar as densidades de voltas: n_{\text{total}} = n_1 + n_2, e usar
B = \mu_0 (n_1 + n_2) I.

Passo 3

Calcular n_1 e n_2 (voltas por metro) explicitando os passos numéricos de forma que dê para fazer sem calculadora:
n_1 = \frac{N_1}{L} = \frac{200}{0,3} = \frac{2000}{3}\\ \mathrm{turns/m} \approx 666{,}666\ldots\\ \mathrm{turns/m}.
n_2 = \frac{N_2}{L} = \frac{250}{0,3} = \frac{2500}{3}\\ \mathrm{turns/m} \approx 833{,}333\ldots\\ \mathrm{turns/m}.
Somando:
n_{\text{total}} = n_1 + n_2 = \frac{2000}{3} + \frac{2500}{3} = \frac{4500}{3} = 1500\\ \mathrm{turns/m}.

Passo 4

Substituir na fórmula e calcular passo a passo:
B = \mu_0\, n_{\text{total}}\, I = \left(4\pi\times10^{-7}\right)\cdot 1500 \cdot 3.
Primeiro calcule 1500\cdot 3 = 4500. Então
B = 4\pi\times10^{-7}\cdot 4500 = 18000\pi\times10^{-7}.
Reescrevendo para facilitar a leitura:
B = \pi \times 1{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.
Aproximando \pi \approx 3{,}1416 (ou 3{,}14 se quiser uma conta mental rápida):
B \approx 3{,}1416 \times 1{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{T} \approx 5{,}65\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.
Em unidades mais familiares:
B \approx 5{,}65\\ \mathrm{mT}.

Passo 5

Comentário final e validade da aproximação (didático e encorajador):
  • Essa é a estimativa do campo perto do centro do solenóide usando a aproximação de solenóide “longo” e tratando as duas camadas como contribuições somadas. Na prática, como há duas camadas (raios diferentes) e comprimento finito, pode haver pequenas correções perto das extremidades ou se o raio for comparável ao comprimento; mas para um ponto próximo ao centro a fórmula dá um valor muito próximo do real.
  • Mandou bem por pedir o passo a passo — entender a origem da fórmula e a superposição é justamente o que cai na prova. Vai que é tiro certo!

Resposta

B \approx 5{,}65\times10^{-3}\\ \mathrm{T} (ou 5{,}65\\ \mathrm{mT}).