(b) Se a solução de (40) tiver a forma
onde
é a função encontrada no item anterior, mostre que
satisfaz o problema dado em (39), com
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma solução
que é dividida em duas partes:
, que depende só de
, e
, que depende de
e
. A ideia aqui é mostrar que essa parte
satisfaz uma equação específica, que está referenciada como problema (39) com
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais parciais, onde uma solução é expressa como a soma de duas funções. Precisamos usar propriedades das soluções dessas equações para fazer essa demonstração.
O que vamos precisar: Vamos substituir a forma dada de
na equação original (presumivelmente a equação número 40) e manipular os termos para isolar a equação que
deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a expressão
na equação original (40). Supondo que a equação (40) seja uma equação diferencial que
deve satisfazer, temos:
Substituindo
:
Como
é uma função de
apenas, sua derivada em relação a
é zero:
Passo 3
Agora, usamos a informação de que
já é uma solução do item anterior, ou seja,
satisfaz a equação relacionada. Isso significa que os termos envolvendo
já obedecem a certa condição, possivelmente cancelando alguns termos na equação acima.
Portanto, a equação simplifica para:
Esses “termos restantes” devem ser zero ou ajustados conforme a especificação do problema (39).
Passo 4
Considerando que o problema (39) com
define a equação que
deve satisfazer, ajustamos a equação final para:
Isso mostra que
satisfaz a equação de difusão (ou outra relevante conforme o contexto do problema 39) com
.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
satisfaz o problema dado em (39) com
.