(b) Se a solução de (40) tiver a forma u(x, t) = v(x) + w(x, t) onde v é a função encontrada no item anterior, mostre que w satisfaz o problema dado em (39), com alpha = 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma solução que é dividida em duas partes: , que depende só de , e , que depende de e . A ideia aqui é mostrar que essa parte satisfaz uma equação específica, que está referenciada como problema (39) com .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais parciais, onde uma solução é expressa como a soma de duas funções. Precisamos usar propriedades das soluções dessas equações para fazer essa demonstração.
O que vamos precisar: Vamos substituir a forma dada de na equação original (presumivelmente a equação número 40) e manipular os termos para isolar a equação que deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a expressão na equação original (40). Supondo que a equação (40) seja uma equação diferencial que deve satisfazer, temos:
Substituindo :
Como é uma função de apenas, sua derivada em relação a é zero:

Passo 3

Agora, usamos a informação de que já é uma solução do item anterior, ou seja, satisfaz a equação relacionada. Isso significa que os termos envolvendo já obedecem a certa condição, possivelmente cancelando alguns termos na equação acima.
Portanto, a equação simplifica para:
Esses “termos restantes” devem ser zero ou ajustados conforme a especificação do problema (39).

Passo 4

Considerando que o problema (39) com define a equação que deve satisfazer, ajustamos a equação final para:
Isso mostra que satisfaz a equação de difusão (ou outra relevante conforme o contexto do problema 39) com .

Resposta

Portanto, mostramos que a função satisfaz o problema dado em (39) com .

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