Uma solução aquosa de um colóide orgânico ( c_{p}=0,9 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) deve ser concentrada de 10 a 40% em um evaporador de simples efeito a uma vazão de 15000 \mathrm{Kg} / \mathrm{h}. O vapor de aquecimento é vapor saturado a 2 atm e deixa a câmara na temperatura de condensação. A câmara de evaporação se mantém a uma pressão absoluta de 150 mmHg . O calor de diluição e as perdas de calor no exterior por convecção e radiação são desprezíveis. O coeficiente global de transferência de calor é 2000 \mathrm{Kcal} / \mathrm{m} 2 . \mathrm{h} .^{\circ} \mathrm{C} e o calor específico da alimentação é 0,9 \mathrm{Kcal} / \mathrm{Kg} .^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que a solução entra no evaporador a 20^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a. O consumo de vapor vivo (S)
b. A superfície de troca térmica (A)
c. A economia

Passo 1

Vou deixar bem explícito o que o enunciado pede e os dados que ele fornece (tudo que segue foi dado no enunciado):
  • Pedidos:
    a. consumo de vapor vivo ( S ), em \mathrm{kg/h}.
    b. superfície de troca térmica ( A ), em \mathrm{m^2}.
    c. economia (kg de água evaporada por kg de vapor usado), adimensional.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão de alimentação (solução): \dot{m}_f = 15000\\ \mathrm{kg/h}.
    • Concentração sólida na alimentação: x_f = 10\% = 0,10 (fração em massa).
    • Concentração sólida no produto concentrado: x_p = 40\% = 0,40.
    • Calor específico da solução (alimentação e produto): c_p = 0,9\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot^\circ C)}.
    • Temperatura de entrada da solução: T_{in} = 20^\circ\mathrm{C}.
    • Evaporador operando à pressão absoluta de 150\\ \mathrm{mmHg}.
    • Vapor de aquecimento: vapor saturado a 2\\ \mathrm{atm} e condensa a sua temperatura de saturação (o condensado sai à temperatura de condensação).
    • Coeficiente global de transferência de calor: U = 2000\\ \mathrm{kcal/(m^2\cdot h\cdot^\circ C)}.
    • Desprezam-se perdas externas e calor de diluição.
  • Observações necessárias (valores obtidos em tabelas de vapor — isto foi consultado em tabela padrão de vapor):
    • Pressão de operação do evaporador 150\\ \mathrm{mmHg} corresponde aprox. a temperatura de ebulição do banho de \,T_b\approx 60{,}0^\circ\mathrm{C} (valor da tabela de saturação: vapor pressão 150 mmHg → T_{sat}\approx60^\circ\mathrm{C}).
    • Temperatura de saturação do vapor de aquecimento (a 2\\ \mathrm{atm} abs) é \,T_s\approx120{,}2^\circ\mathrm{C} (tabela).
    • Latente de vaporização da água na temperatura de ebulição do evaporador (saturação a \approx60^\circ\mathrm{C}): tomo da tabela o valor \lambda_{b} \approx 584\\ \mathrm{kcal/kg}.
    • Latente de condensação do vapor de aquecimento (saturado a 2\\ \mathrm{atm}, T_s\approx120{,}2^\circ\mathrm{C}): tomo da tabela o valor \lambda_{s} \approx 536\\ \mathrm{kcal/kg}.
(Expliquei acima que os valores de \lambda foram obtidos em tabela padrão de vapor — é imprescindível porque o calor latente depende da temperatura/pressão.)

Passo 2

Primeiro faço o balanço de massa para obter a vazão de água evaporada (massa de vapor gerada dentro do evaporador).
  • Massa de sólidos na alimentação:
    \dot{m}_{s} = \dot{m}_f \cdot x_f = 15000\cdot0,10 = 1500\\ \mathrm{kg/h}.
    (Os sólidos são conservados.)
  • Massa do produto (concentrado) com x_p=0,40:
    \dot{m}_p = \frac{\dot{m}_{s}}{x_p} = \frac{1500}{0,40} = 3750\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa evaporada (vapor produzido pelo evaporador):
    \dot{m}_v = \dot{m}_f - \dot{m}_p = 15000 - 3750 = 11250\\ \mathrm{kg/h}.
(Resumo: a cada hora saem 3750 kg/h de produto e 11250 kg/h de vapor evaporado.)

Passo 3

Agora calculemos o calor sensível necessário para aquecer a alimentação de T_{in}=20^\circ\mathrm{C} até a temperatura de ebulição do evaporador T_b\approx60^\circ\mathrm{C}.
  • Fórmula do calor sensível (essa é uma fórmula básica que sempre usamos): para aquecer uma vazão mássica \dot{m} de T_1 para T_2,
    Q_{sens} = \dot{m}\, c_p \, (T_2 - T_1).
    Aqui \dot{m}=\dot{m}_f, c_p=0,9\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot^\circ C)}, T_2-T_1 = 60-20 = 40^\circ\mathrm{C}.
  • Cálculo:
    Q_{sens} = 15000 \cdot 0,9 \cdot 40 = 15000 \cdot 36 = 540000\\ \mathrm{kcal/h}.
(Interpretação: é a energia necessária por hora só para aquecer toda a alimentação até o ponto de ebulição.)

Passo 4

Calor necessário para vaporizar a água correspondente a \dot{m}_v = 11250\\ \mathrm{kg/h}.
  • Conceito: cada kg de água que evapora consome a energia igual ao seu calor latente na temperatura de ebulição do banho (aqui \lambda_b em \mathrm{kcal/kg}).
  • Cálculo:
    Q_{evap} = \dot{m}_v \cdot \lambda_{b} = 11250 \cdot 584 = 6570000\\ \mathrm{kcal/h}.
    (Usei \lambda_{b}=584\\ \mathrm{kcal/kg} obtido na tabela de vapor para T_b\approx60^\circ\mathrm{C}.)

Passo 5

Calor total requerido pelo evaporador (soma do aquecimento sensível da alimentação e da vaporização):
Q_{total} = Q_{sens} + Q_{evap} = 540000 + 6570000 = 7110000\\ \mathrm{kcal/h}.
(Em notação científica: Q_{total}=7,11\times10^{6}\\ \mathrm{kcal/h}.)

Passo 6

Agora o consumo de vapor vivo S. A energia disponível por kg de vapor de aquecimento que condensa é o seu calor latente \lambda_{s} (aqui usei \lambda_{s}=536\\ \mathrm{kcal/kg} obtido na tabela para vapor saturado a 2\\ \mathrm{atm}).
  • Balanço energético (toda a potência de condensação do vapor é usada no evaporador, perdas desprezíveis):
    S = \frac{Q_{total}}{\lambda_{s}}.
  • Cálculo numérico:
    S = \frac{7110000}{536} \approx 13264{,}9\\ \mathrm{kg/h}.
(Arredondando convenientemente: S\approx13265\\ \mathrm{kg/h}.)

Passo 7

Determinação da superfície de troca térmica A.
  • Fórmula básica de transferência de calor por convecção em regime estacionário:
    Q_{total} = U\; A\; \Delta T_{lm},
    onde U é o coeficiente global (dado), A a área, e \Delta T_{lm} é a diferença média logarítmica de temperatura entre o vapor de aquecimento e o fluido que ferve.
  • No caso simples de um evaporador de efeito único com vapor condensando a temperatura praticamente constante T_s e a solução fervendo também praticamente a temperatura constante T_b, a diferença de temperatura é praticamente constante ao longo da superfície, de modo que a LMTD reduz-se à diferença direta:
    \Delta T \approx T_s - T_b = 120{,}2 - 60{,}0 = 60{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • Reorganizando para A:
    A = \frac{Q_{total}}{U\,\Delta T}.
  • Cálculo numérico:
    A = \frac{7110000}{2000\cdot60{,}2} = \frac{7110000}{120400} \approx 59{,}06\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Cálculo da economia do evaporador (eficiência térmica em termos de massa): é a razão entre a massa de vapor produzido no efeito e a massa de vapor de aquecimento consumida:
\text{economia} = \frac{\dot{m}_v}{S} = \frac{11250}{13264{,}9} \approx 0{,}848.
(Interpretação: cada kg de vapor vivo corresponde a aproximadamente 0{,}848\\ \mathrm{kg} de água evaporada no evaporador — num evaporador de simples efeito a economia normalmente é menor que 1.)

Passo 9

Resumo dos valores obtidos (arredondamentos e observações finais):
  • Usei T_b\approx60{,}0^\circ\mathrm{C} para a pressão de 150 mmHg e T_s\approx120{,}2^\circ\mathrm{C} para vapor saturado a 2 atm (valores de saturação de tabela).
  • Usei valores de calores latentes retirados de tabelas padrão de vapor: \lambda_{b}=584\\ \mathrm{kcal/kg} (a \approx60^\circ\mathrm{C}) e \lambda_{s}=536\\ \mathrm{kcal/kg} (a 2\\ \mathrm{atm}). Se em outra tabela esses números mudarem um pouco, os resultados numéricos mudam pouco; o procedimento e as fórmulas permanecem os mesmos.
  • Os resultados foram arredondados com 3 algarismos significativos quando cabível.
Força aí — já tens tudo pronto para escrever isso na prova: massa, energia, área e economia, com fórmulas e justificativas.

Resposta

a. S \approx 13265\\ \mathrm{kg/h}
b. A \approx 59{,}06\\ \mathrm{m^2}
c. \text{economia} \approx 0{,}848