A solução da equação diferencial y’=y+ex é tal que y(2)=0. Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de y(1).
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial onde a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ y + e^x $, ou seja:
Além disso, sabemos que quando $ x = 2 $, $ y = 0 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de $ y $ quando $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar a condição inicial que nos foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilita a aplicação do método do fator integrante. A equação é:
Aqui, identificamos que a equação está na forma padrão:
onde $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = e^x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo $ P(x) = -1 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $. Isso significa que:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
O lado esquerdo simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para $ y $:
Passo 8
Usamos a condição inicial $ y(2) = 0 $ para encontrar $ C $:
Dividindo ambos os lados por $ e^{2} $:
Então, $ C = -2 $.
Passo 9
Substituímos $ C $ de volta na solução geral:
Passo 10
Agora, para encontrar $ y(1) $, substituímos $ x = 1 $:
Resposta
O valor correto de $ y(1) $ é $ -e $.