A solução da equação diferencial y’=y+ex é tal que y(2)=0. Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de y(1).

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial onde a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ y + e^x $, ou seja:
y
Além disso, sabemos que quando $ x = 2 $, $ y = 0 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de $ y $ quando $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar a condição inicial que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilita a aplicação do método do fator integrante. A equação é:
y' - y = e^x
Aqui, identificamos que a equação está na forma padrão:
y' + P(x)y = Q(x)
onde $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = e^x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo $ P(x) = -1 $:
P(x) = -1

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando o lado direito:
e^-x y' - e^-x y = e^-x e^x

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $. Isso significa que:
mu(x) y

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
O lado esquerdo simplifica para:
integral ddx (e^-x y) , dx = integral 1 , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para $ y $:
y

Passo 8

Usamos a condição inicial $ y(2) = 0 $ para encontrar $ C $:
y(2) = 0
Dividindo ambos os lados por $ e^{2} $:
C
Então, $ C = -2 $.

Passo 9

Substituímos $ C $ de volta na solução geral:
C

Passo 10

Agora, para encontrar $ y(1) $, substituímos $ x = 1 $:
y(1)

Resposta

O valor correto de $ y(1) $ é $ -e $.

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