Se (x, y, z) é solução do sistema abaixo, então x é:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & 1 & -5 \\\\ 2 & 3 & 0 & -7 \\\\ 0 & -1 & 3 & -5\end{array}\right]
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear e pergunta qual é o valor de x\) na solução \((x,y,z)\). A matriz aumentada fornecida é \[\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & -5 \\\\ 2 & 3 & 0 & -7 \\\\ 0 & -1 & 3 & -5 \end{array}\right].
Escrevendo isso como um sistema de equações, obtemos:
\begin{cases} x + y + z = -5,\\[6pt] 2x + 3y + 0z = -7,\\[6pt] 0x - y + 3z = -5. \end{cases}
O que se pede: encontrar o valor de x\] que faz \((x,y,z) satisfazer esse sistema. As informações relevantes são exatamente as três equações acima (retiradas da matriz aumentada).]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminar variáveis por operações elementares entre linhas até obter um sistema triangular e então fazer substituição para achar as incógnitas). Regras essenciais que vou usar:
  • Pode-se somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • Pode-se multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
  • O objetivo é zerar coeficientes abaixo do pivô (a entrada que escolhemos para eliminar outras linhas).
    Vou aplicar essas operações passo a passo e explicar cada conta.

Passo 3

Começo eliminando x da segunda equação usando a primeira. Em termos de linhas: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Escrevendo as linhas originais:
R_1: \;[1\; 1\; 1\mid -5],\qquad R_2: \;[2\; 3\; 0\mid -7].
Calculo R_2 - 2R_1 componente a componente:
\begin{aligned} &2 - 2\cdot 1 = 0,\\\ &3 - 2\cdot 1 = 1,\\\ &0 - 2\cdot 1 = -2,\\\ &-7 - 2\cdot(-5) = -7 + 10 = 3. \end{aligned}
Portanto a nova R_2 é [0\;1\;-2\mid 3]. A matriz (ou o sistema) passa a ser equivalente a:
\begin{cases} x + y + z = -5,\\[6pt] \;y - 2z = 3,\\[6pt] - y + 3z = -5. \end{cases}]

Passo 4

Agora trabalho com as duas equações que restaram em y e z:
\begin{aligned} &\text{(a)}\quad y - 2z = 3,\\[4pt] &\text{(b)}\quad -y + 3z = -5. \end{aligned}
Uma ideia simples: somar (a) e (b) para eliminar y. Fazendo (\text{a}) + (\text{b}):
(y - 2z) + (-y + 3z) = 3 + (-5).
No lado esquerdo y - y = 0 e -2z + 3z = z. No lado direito 3 - 5 = -2. Logo
z = -2.]

Passo 5

Com z = -2 faço substituição em uma das equações para achar y. Uso a equação y - 2z = 3:
y - 2(-2) = 3 \quad\Longrightarrow\quad y + 4 = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = 3 - 4 = -1.
Agora uso a primeira equação x + y + z = -5 para obter x:
x + (-1) + (-2) = -5 \quad\Longrightarrow\quad x - 3 = -5 \quad\Longrightarrow\quad x = -5 + 3 = -2.

Passo 6

Verificação rápida (substituir (x,y,z)=(-2,-1,-2) nas equações para garantir que tudo bate):
2x + 3y = 2(-2) + 3(-1) = -4 -3 = -7 \quad\checkmark,
- y + 3z = -(-1) + 3(-2) = 1 -6 = -5 \quad\checkmark,
x + y + z = -2 -1 -2 = -5 \quad\checkmark.
Tudo confere, então a solução está correta.

Resposta

(C) -2