Uma solução de soda cáustica a 10 \% em peso precisa ser concentrada em um evaporador de simples efeito. Para evaporar 4.500 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de solução que entra no evaporador a 25^{\circ} \mathrm{C}, tem-se à disposição vapor saturado. Sabe-se que a pressão absoluta no evaporador é 0,15 bar.
a) Calcule a quantidade de vapor de aquecimento consumido;
b) Se o coeficiente global é 2000 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}\right) e a diferença de temperatura no evaporador é de 32^{\circ} \mathrm{C}, determinem a área de troca térmica.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    \begin{aligned} &\text{Vazão de alimentação (solução a }10\%\text{ em massa)} = \dot{M}_F = 4500\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\text{Temperatura de entrada da solução} = T_F = 25^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Pressão absoluta no evaporador} = P_{ev} = 0{,}15\\ \mathrm{bar},\\\ &\text{Vapor disponível: vapor saturado (condensa no lado de aquecimento).}\\\ &\text{Coeficiente global de transferência de calor } U = 2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)},\\\ &\text{Diferença de temperatura média no trocador} = \Delta T_{lm} = 32^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}ãçãçãçããíêçé
  • O que se pede:
    (a) Calcular a quantidade de vapor de aquecimento consumido (em \mathrm{kg/h}).
    (b) Determinar a área de troca térmica (em \mathrm{m^2}).
Observação importante: o enunciado fala em “concentrar” mas não especifica a concentração final desejada. Para poder resolver numericamente precisamos dessa concentração final. Vou adotar a hipótese razoável (comum em problemas de soda cáustica) de que a solução deve ser concentrada de 10\% para 50\% em massa. Vou explicitar essa suposição e seguir com ela. Se você tiver outra concentração final, eu refaço os cálculos rapidamente.

Passo 2

Fazer o balanço de massa do soluto ( \mathrm{NaOH}) para encontrar quanto produto permanece e quanto água é evaporada.
  • Massa de NaOH na alimentação:
    \dot{m}_{NaOH} = 0{,}10\cdot \dot{M}_F = 0{,}10\cdot 4500 = 450\\ \mathrm{kg/h}.
  • Supondo concentração final x_P = 50\% em massa, a vazão da solução concentrada será
    \dot{M}_P = \frac{\dot{m}_{NaOH}}{x_P} = \frac{450}{0{,}50} = 900\\ \mathrm{kg/h}.
  • Logo, a massa evaporada (que é basicamente água evaporada) é
    \dot{M}_V = \dot{M}_F - \dot{M}_P = 4500 - 900 = 3600\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação didática: o soluto (NaOH) não evapora significativamente; ele permanece na fase líquida. Por conservação de massa do soluto, a massa final de solução é simplesmente a massa do soluto dividida pela fração em massa desejada. A diferença entre alimentação e produto é a água evaporada.

Passo 3

Encontrar a temperatura de ebulição (temperatura de saturação) correspondente à pressão do evaporador P_{ev}=0{,}15\\ \mathrm{bar}.
  • Podemos usar a tabela de vapor saturado: valores típicos (tabelas): \begin{aligned} P &= 0{,}10\\ \mathrm{bar}\quad\Rightarrow\quad T_{sat}\approx 45{,}8^\circ\mathrm{C},\\\ P &= 0{,}20\\ \mathrm{bar}\quad\Rightarrow\quad T_{sat}\approx 60{,}1^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}Como 0{,}15\\ \mathrm{bar} está entre esses pontos, fazemos interpolação linear aproximada entre 45{,}8^\circ\mathrm{C} e 60{,}1^\circ\mathrm{C}. Sendo 0{,}15 exatamente no meio entre 0{,}10 e 0{,}20, T_{sat}(0{,}15\\ \mathrm{bar})\approx \frac{45{,}8+60{,}1}{2}\approx 52{,}95^\circ\mathrm{C}\approx 53^\circ\mathrm{C}.
Didática: a temperatura de ebulição depende da pressão; em baixa pressão a água ferve a temperaturas menores. O evaporador opera à pressão dada, então tanto a água que evaporará quanto o vapor de aquecimento saturado estão associados a essa mesma temperatura de saturação.

Passo 4

Determinar a entalpia de vaporização (calor latente) da água à temperatura de saturação do evaporador.
  • Usando tabela de vapor saturado (valores típicos): \begin{aligned} h_{fg}(0{,}10\\ \mathrm{bar},\,45{,}8^\circ\mathrm{C}) &\approx 2446\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ h_{fg}(0{,}20\\ \mathrm{bar},\,60{,}1^\circ\mathrm{C}) &\approx 2393\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}Interpolando para P=0{,}15\\ \mathrm{bar} (aprox. meio termo), tomo um valor aproximado h_{fg}(0{,}15\\ \mathrm{bar}) \approx 2420\\ \mathrm{kJ/kg}.
Explicação didática: h_{fg} é a quantidade de energia necessária para evaporar 1 kg de água à temperatura de saturação. Esse mesmo calor é liberado quando 1 kg de vapor saturado condensa. Por isso podemos dividir a energia total exigida pelo processo pela h_{fg} do vapor disponível para obter a vazão de vapor necessária.

Passo 5

Calcular o calor total necessário ao evaporador: ele é composto de duas parcelas principais
  1. aquecer toda a alimentação líquida de T_F até T_{sat} (energia sensível), e
  2. fornecer a energia latente para evaporar \dot{M}_V de água.
Escrevemos:
Q = \dot{M}_F c_p (T_{sat}-T_F) + \dot{M}_V\, h_{fg},
onde
  • \dot{M}_F é vazão total de alimentação ( \mathrm{kg/h}),
  • c_p é capacidade térmica específica aproximada da solução (usamos c_p\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, valor próximo do da água; a variação com 10% de NaOH é pequena para estimativa),
  • T_{sat} e T_F em ^\circ\mathrm{C} (diferença em K é a mesma).
Calculando a parcela sensível:
\begin{aligned} \Delta T &= T_{sat}-T_F \approx 53 - 25 = 28\\ ^\circ\mathrm{C},\\\ \dot{Q}_{sens} &= \dot{M}_F c_p \Delta T = 4500\cdot 4{,}18\cdot 28\\ \mathrm{kJ/h}. \end{aligned}
Calculemos passo a passo:
4{,}18\cdot 28 = 117{,}04\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot h\cdot K)}\\ (\text{produto de }c_p\Delta T),
\dot{Q}_{sens} = 4500\cdot 117{,}04 = 526{,}680\\ \mathrm{kJ/h}.
Parcela latente (para evaporar \dot{M}_V=3600\\ \mathrm{kg/h}):
\dot{Q}_{lat} = \dot{M}_V\cdot h_{fg} = 3600\cdot 2420 = 8{,}712{,}000\\ \mathrm{kJ/h}.
Total:
Q = \dot{Q}_{sens} + \dot{Q}_{lat} = 526{,}680 + 8{,}712{,}000 = 9{,}238{,}680\\ \mathrm{kJ/h}.
Didática: percebemos que a parcela latente domina (é muito maior) — típico em evaporadores: a maior parte do calor é gasto na vaporização.

Passo 6

Calcular a vazão de vapor de aquecimento necessária.
  • Cada kg de vapor saturado que condensa libera aproximadamente h_{fg} (em \mathrm{kJ/kg}). Assim: \dot{m}_s = \frac{Q}{h_{fg}}.
Usando Q em \mathrm{kJ/h} e h_{fg} em \mathrm{kJ/kg}:
\dot{m}_s = \frac{9{,}238{,}680}{2420}\approx 3{,}818\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário: uma forma mais direta e frequentemente usada em licença rápida é reorganizar a conta e obter
\dot{m}_s = \dot{M}_V + \frac{\dot{M}_F c_p \Delta T}{h_{fg}},
que dá o mesmo resultado: \dot{m}_s = 3600 + \dfrac{526{,}680}{2420}\approx 3600 + 217{,} \approx 3817\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Converter o calor Q para unidades de potência (W) e calcular a área de troca térmica.
  • Converter Q de \mathrm{kJ/h} para \mathrm{W}:
    \dot{Q}_{W} = \frac{Q\\ (\mathrm{kJ/h}) \times 1000\\ (\mathrm{J/kJ})}{3600\\ (\mathrm{s/h})} = \frac{9{,}238{,}680\times 1000}{3600} \approx 2{,}566{,}300\\ \mathrm{W}.
  • A área necessária é dada por
    A = \frac{\dot{Q}_W}{U\\ \Delta T},
    onde U=2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)} e \Delta T = 32^\circ\mathrm{C}. Assim,
    A = \frac{2{,}566{,}300}{2000\cdot 32} = \frac{2{,}566{,}300}{64{,}000} \approx 40{,}1\\ \mathrm{m^2}.
Explicação didática: U\Delta T é a taxa de calor por unidade de área disponível; dividindo a potência necessária por essa taxa obtemos a área de troca.

Passo 8

Resumo numérico (valores arredondados razoavelmente):
  • Vazão de vapor de aquecimento consumido:
    \dot{m}_s \approx 3{,}818\\ \mathrm{kg/h}.
  • Área de troca térmica necessária:
    A \approx 40{,}1\\ \mathrm{m^2}.
Observações finais e encorajamento rápido: Eu assumi concentração final de 50\% em massa e usei valores típicos de tabela para T_{sat} e h_{fg} por interpolação. Se você tiver outra concentração final desejada (por exemplo 30\% ou 40\%), ou se quiser que eu use valores de tabela mais precisos, me diga e eu recalculo rapidinho. Você já montou o raciocínio correto — esse tipo de problema é sempre massa do soluto → massa do produto → massa evaporada → balanço energético → steam duty → área. Vai dar certo na prova!

Resposta

\dot{m}_s \approx 3818\\ \mathrm{kg/h}
A \approx 40{,}1\\ \mathrm{m^2}

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