O som de uma trombeta é emitido em todas as direções no ar a 20,0^circ C. A uma distância de 6,88 m da trombeta o nível da intensidade sonora é igual a 58,4 dB, A frequência é igual a 587 Hz . Para o ar, a 20,0^circ C, sabemos que a densidade é igual a rho=1,20 kg / m^3 e v som =343 m / s. Considere como referência, para a medida da intensidade sonora, o limiar do ouvido humano 1,00 times 10^-12 W / m^2.
A que distância o nível da intensidade sonora é igual a 30,6 dB?

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de intensidade sonora e nível de pressão sonora. A questão nos dá o nível de intensidade sonora (em decibéis, dB) a uma certa distância da fonte sonora e nos pede para encontrar a distância onde esse nível de intensidade sonora é diferente. Para resolver isso, vamos usar a Lei do Inverso do Quadrado, que descreve como a intensidade do som diminui conforme nos afastamos da fonte.

Passo 2

Entendendo o Nível de Intensidade Sonora
O nível de intensidade sonora ( beta) é medido em decibéis (dB) e é calculado pela fórmula:
beta = 10 log(II0)
onde:
  • I é a intensidade sonora,
  • I0 é a intensidade de referência ( 1,00 times 10^-12 , W/m^2).

Passo 3

Aplicando a Lei do Inverso do Quadrado
A intensidade sonora ( I) está relacionada à distância ( d) da fonte sonora pela relação:
I propto 1d^2
Isso significa que se a distância aumenta, a intensidade diminui com o quadrado dessa distância.

Passo 4

Estabelecendo a Relação entre as Intensidades nos Dois Pontos
Vamos chamar o primeiro ponto de distância d1 = 6,88 , m com nível sonoro beta1 = 58,4 , dB, e o segundo ponto de distância d2 com nível sonoro beta2 = 30,6 , dB.
Usando a relação das intensidades:
I2I1 = (d1d2)^2

Passo 5

Relacionando os Níveis Sonoros aos Intensidades
Sabemos que:
beta1 = 10 log(I1I0)
beta2 = 10 log(I2I0)
Podemos dividir essas duas equações para eliminar I0:
beta2beta1 = log(I2I0)log(I1I0)
Mas é mais direto usar a diferença de níveis sonoros para relacionar as intensidades.

Passo 6

Calculando a Razão das Intensidades
A diferença de níveis sonoros é:
beta1 - beta2 = 10 log(I1I2)
Substituindo os valores:
58,4 - 30,6 = 10 log(I1I2)
27,8 = 10 log(I1I2)
2,78 = log(I1I2)
Convertendo de logaritmo:
I1I2 = 10^2,78 approx 602,56

Passo 7

Relacionando as Intensidades com as Distâncias
Usando a relação da Lei do Inverso do Quadrado:
I2I1 = (d1d2)^2
Sabemos que I1I2 approx 602,56, então:
I2I1 approx 1602,56 approx 0,00166
Logo:
0,00166 = (6,88d2)^2
raiz0,00166 = 6,88d2
0,04075 = 6,88d2
d2 = 6,880,04075 approx 168,64 , m

Resposta

A uma distância de aproximadamente 168,6 metros, o nível da intensidade sonora é igual a 30,6 , dB.

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