A soma de um número racional com um número irracional é um irracional?
Passo 1
Vamos entender o que está sendo perguntado: queremos saber se a soma de um número racional com um número irracional resulta em um número irracional. Para resolver isso, precisamos lembrar o que são números racionais e irracionais e como eles se comportam quando somados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 3
Agora, um número irracional é um número que não pode ser escrito como uma fração de dois números inteiros. Exemplos clássicos de números irracionais são
,
e
.
Passo 4
Vamos supor que temos um número racional, que vamos chamar de
, e um número irracional,
. Queremos saber se a soma
é irracional.
Passo 5
Vamos assumir, para fins de contradição, que
seja um número racional. Ou seja,
, onde
é racional.
Passo 6
Se rearranjarmos essa equação, teremos
. Sabemos que
e
são racionais, e a diferença de dois números racionais também é racional.
Passo 7
Isso implicaria que
, que supomos ser irracional, é igual a um número racional
. Essa é uma contradição, pois estamos afirmando que um número irracional é igual a um racional.
Passo 8
Portanto, nossa suposição de que
é racional está errada.
Resposta
A soma de um número racional com um número irracional é, sempre, um número irracional.