A soma de um número racional com um número irracional é um irracional?

Passo 1

Vamos entender o que está sendo perguntado: queremos saber se a soma de um número racional com um número irracional resulta em um número irracional. Para resolver isso, precisamos lembrar o que são números racionais e irracionais e como eles se comportam quando somados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração ab, onde a e b são inteiros e b neq 0.

Passo 3

Agora, um número irracional é um número que não pode ser escrito como uma fração de dois números inteiros. Exemplos clássicos de números irracionais são raiz2, pi e e.

Passo 4

Vamos supor que temos um número racional, que vamos chamar de r, e um número irracional, i. Queremos saber se a soma r + i é irracional.

Passo 5

Vamos assumir, para fins de contradição, que r + i seja um número racional. Ou seja, r + i = q, onde q é racional.

Passo 6

Se rearranjarmos essa equação, teremos i = q - r. Sabemos que q e r são racionais, e a diferença de dois números racionais também é racional.

Passo 7

Isso implicaria que i, que supomos ser irracional, é igual a um número racional q - r. Essa é uma contradição, pois estamos afirmando que um número irracional é igual a um racional.

Passo 8

Portanto, nossa suposição de que r + i é racional está errada.

Resposta

A soma de um número racional com um número irracional é, sempre, um número irracional.

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