\sqrt{ } \mathbf{2 . 6 C} Verifique que as séries abaixo atendem às condições do Critério de Leibniz e conclua que elas são convergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+7}

Passo 1

O enunciado pede verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+7}
atende às condições do Critério de Leibniz e, em seguida, concluir que ela é convergente. Para isso, vamos definir
a_n = \frac{1}{n^2 + 7}
e checar: (i) a_n \ge 0, (ii) a_{n+1} \le a_n, (iii) \lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 2

Para todo n \ge 1, temos n^2 + 7 > 0, logo
a_n = \frac{1}{n^2 + 7} > 0.
Além disso,
(n+1)^2 + 7 = n^2 + 2n + 8 > n^2 + 7,
de onde
a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2 + 7} < \frac{1}{n^2 + 7} = a_n.
Portanto, (a_n) é positiva e decrescente.

Passo 3

Como n^2 + 7 \to \infty quando n \to \infty, segue-se que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2 + 7} = 0.

Passo 4

O Critério de Leibniz afirma que se (a_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série alternada \sum (-1)^n a_n converge. Aplicando esse critério, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+7}
é convergente.

Resposta

A série converge pelo Critério de Leibniz.

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