Quais dos subconjuntos do R^2 com as operações usuais são subespaços vetoriais?
© V3=(x, y) in R^2 mid x=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente quer saber se o conjunto é um subespaço vetorial de com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar. Para verificar isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos um vetor do conjunto e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto u + v = (0 + 0, y1 + y2) = (0, y1 + y2) .
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em c cdot u = c cdot (0, y) = (c cdot 0, c cdot y) = (0, c y) é . Na nossa definição de , temos que , então pertence a . Então, essa propriedade está satisfeita.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de . Seja e . A soma deles é:
Note que a primeira componente é 0, então também está em . Portanto, é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de , digamos , e multiplicar por um escalar :
A primeira componente continua sendo 0, então também está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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