As substituições trigonométricas são artifícios que são utilizados para a resolução e integrais. Utilizando da técnica mencionada, calcule a integral de ∫√1−4x²dx.
a) [arcsen(2x)/4 + sen(2arcsen(2x))] + C
b) [arcsen(x)/4 + 1/8 sen(2arcsen(x))] + C
c) [arcsen(2x)/8 + 1/4 sen(2arcsen(2x))] + C
d) [2arcsen(2x) + 1/8 sen(2arcsen(2x))] + C
e) [arcsen(2x)/4 + 1/8 sen(2arcsen(2x))] + C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de integral raiz1 - 4x^2 , dx usando substituições trigonométricas. Esse tipo de problema geralmente aparece nas aulas de cálculo integral, onde a gente usa identidades trigonométricas para facilitar a resolução de integrais complicadas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a substituição trigonométrica adequada e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: raiz1 - 4x^2. Isso se parece com a expressão raiz1 - a^2x^2, onde a é uma constante. Nesse caso, a = 2.
Quando temos uma expressão do tipo raiz1 - a^2x^2, uma boa substituição trigonométrica é x = 1a sintheta. Isso simplifica a integral usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Vamos aplicar essa substituição:
x = 12 sintheta
Então, a derivada de x em relação a theta é:
dx = 12 costheta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x na expressão dentro da raiz:
raiz1 - 4x^2 = raiz1 - 4(12 sintheta)^2 = raiz1 - sin^2theta
E sabemos que:
raiz1 - sin^2theta = costheta
Então, a integral original fica:
integral raiz1 - 4x^2 , dx = integral costheta cdot 12 costheta , dtheta = 12 integral cos^2theta , dtheta

Passo 5

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta = 1 + cos2theta2
Substituindo na integral:
12 integral 1 + cos2theta2 , dtheta = 14 integral (1 + cos2theta) , dtheta

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
14 ( integral 1 , dtheta + integral cos2theta , dtheta )
A integral de 1 em relação a theta é theta, e a integral de cos2theta é 12sin2theta:
14 ( theta + 12sin2theta ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembramos que:
x = 12 sintheta
Então, isolando theta:
theta = arcsin(2x)
Também temos:
sin2theta = 2sinthetacostheta = 2(2x)raiz1 - 4x^2 = 4xraiz1 - 4x^2
Mas na expressão final, usamos sin2theta = sin(2arcsin(2x)), para manter em termos de x.

Passo 8

Substituindo theta de volta na expressão, temos:
14 ( arcsin(2x) + 12sin(2arcsin(2x)) ) + C
Simplificando os coeficientes:
arcsin(2x)4 + 18sin(2arcsin(2x)) + C

Resposta

A resposta correta é:
Portanto, a opção e) está correta.

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