As substituições trigonométricas são artifícios que são utilizados para a resolução e integrais. Utilizando da técnica mencionada, calcule a integral de ∫√1−4x²dx.
a) [arcsen(2x)/4 + sen(2arcsen(2x))] + C
b) [arcsen(x)/4 + 1/8 sen(2arcsen(x))] + C
c) [arcsen(2x)/8 + 1/4 sen(2arcsen(2x))] + C
d) [2arcsen(2x) + 1/8 sen(2arcsen(2x))] + C
e) [arcsen(2x)/4 + 1/8 sen(2arcsen(2x))] + C
a) [arcsen(2x)/4 + sen(2arcsen(2x))] + C
b) [arcsen(x)/4 + 1/8 sen(2arcsen(x))] + C
c) [arcsen(2x)/8 + 1/4 sen(2arcsen(2x))] + C
d) [2arcsen(2x) + 1/8 sen(2arcsen(2x))] + C
e) [arcsen(2x)/4 + 1/8 sen(2arcsen(2x))] + C
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
usando substituições trigonométricas. Esse tipo de problema geralmente aparece nas aulas de cálculo integral, onde a gente usa identidades trigonométricas para facilitar a resolução de integrais complicadas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a substituição trigonométrica adequada e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz:
. Isso se parece com a expressão
, onde
é uma constante. Nesse caso,
.
Quando temos uma expressão do tipo
, uma boa substituição trigonométrica é
. Isso simplifica a integral usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Vamos aplicar essa substituição:
Então, a derivada de
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão dentro da raiz:
E sabemos que:
Então, a integral original fica:
Passo 5
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
A integral de 1 em relação a
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembramos que:
Então, isolando
Também temos:
Mas na expressão final, usamos
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão, temos:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A resposta correta é:
Portanto, a opção e) está correta.