Sueli está dirigindo um carro em um trecho retilineo de uma estrada. No tempo t=0, quando ela está se movendo a 10 m / s no sentido positivo do eixo 0x, ela passa por um poste de sinalização a uma distância x=50 m. Sua aceleração em função do tempo é dada por:
a(t)=2,0 m / s^2-(0,10 m / s^3) t
(a) Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em função do tempo. (b) Qual é o instante em que sua velocidade atinge seu valor máximo? © Qual é a velocidade máxima? (d) Onde está o carro quando a velocidade atinge seu valor máximo? (e) Esboce os gráticos de x(t), v(t) e a(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um carro dirigido pela Sueli em uma estrada reta. No instante inicial a(t) = 2,0 , m/s^2 - 0,10 , m/s^3 cdot t , o carro está se movendo a na direção positiva do eixo e passa por um poste a . A aceleração do carro varia com o tempo segundo a fórmula:
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente integração para achar a velocidade e a posição a partir da aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade a(t) = dvdt . Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
v(t) = integral a(t) , dt = integral (2,0 - 0,10 t) dt = 2,0 t - 0,10 cdot t^22 + C
Para encontrar v(t) = 2,0 t - 0,05 t^2 + C , vamos integrar 10 = 2,0 cdot 0 - 0,05 cdot 0^2 + C Rightarrow C = 10 em relação ao tempo.
Integrando v(t) = 2,0 t - 0,05 t^2 + 10 :
Simplificando:
Agora, aplicamos a condição inicial. No tempo , a velocidade é :
Então, a expressão para fica:

Passo 3

Agora vamos encontrar a posição v(t) = dxdt . Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
x(t) = integral v(t) , dt = integral (2,0 t - 0,05 t^2 + 10) dt = 1,0 t^2 - 0,05 cdot t^33 + 10 t + D
Integrando x(t) = 1,0 t^2 - 0,0167 t^3 + 10 t + D em relação ao tempo:
50 = 1,0 cdot 0^2 - 0,0167 cdot 0^3 + 10 cdot 0 + D Rightarrow D = 50
Simplificando:
x(t) = 1,0 t^2 - 0,0167 t^3 + 10 t + 50
Aplicando a condição inicial. No tempo , a posição é :
Portanto, a expressão para é:

Resposta

(a) As expressões para velocidade e posição em função do tempo são:
v(t) = 2,0 t - 0,05 t^2 + 10 , m/s
x(t) = 1,0 t^2 - 0,0167 t^3 + 10 t + 50 , m

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