A superfície de um componente de aço com 0,1 \% (wt.) C deve ser endurecida por cementação e subsequente têmpera. É feita uma cementação gasosa que mantém a concentração de carbono na superfície a 1,2 \%( wt.). O componente precisa ter de 0,45 \% (wt.) C a uma profundidade de 0,2 \mathrm{~cm} abaixo da superfície. Proponha um tratamento térmico que produza esse resultado. Use temperaturas acima de 900^{\circ} \mathrm{C} para que o Fe esteja em sua fase austenítica. Use os dados para a difusão do carbono no Fe- \gamma fornecidos em aula.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados já temos (tudo isso vem do enunciado que você mandou):
  • Composição inicial do núcleo do aço: \,0,1\% (wt.) C.
  • Durante a cementação a superfície é mantida em \,1,2\% (wt.) C (condição de contorno: concentração superficial constante).
  • Deseja-se que a 0,2\\ \mathrm{cm} abaixo da superfície a concentração seja 0,45\% (wt.) C após o processo de cementação.
  • O processo deve ser feito com T>900^\circ\mathrm{C} para que o ferro fique austenítico ( \gamma-Fe) durante a difusão do carbono.
  • É pedido: proponha um tratamento térmico (temperatura e tempo de cementação e o que fazer depois — têmpera) que produza esse resultado.
  • Informações de difusão do carbono no \gamma-Fe: vou usar a lei de difusão típica que se dá por coeficiente de difusão com dependência de Arrhenius D(T)=D_0\exp(-Q/(R T)) e a solução analítica para semi-infinito com concentração superficial constante (vezes que foram referidas como “dados de difusão fornecidos em aula”). Como esses parâmetros numéricos não foram explicitamente enviados aqui, vou usar valores típicos da literatura para carbono em austenita (explico e justifico adiante). Se você tiver exatamente os parâmetros da sua aula, pode substituir direto na mesma fórmula e repetir o cálculo — o procedimento e as fórmulas são os mesmos.

Passo 2

Modelo físico e equação que vamos usar (aulas de difusão, passo a passo didático):
  • Problema físico: cementação mantendo a superfície em concentração constante C_s e uma liga semi-infinita inicialmente com concentração uniforme C_0. Essa é a configuração clássica de difusão de Fick para uma superfície mantida constante.
  • Solução analítica (obtida resolvendo a equação de difusão de Fick para semi-infinito com condição de superfície constante) dá o perfil de concentração como função da profundidade x e do tempo t:
C(x,t)=C_0+(C_s-C_0)\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right)
onde:
  • \,C(x,t) é a concentração de carbono (wt.%) à profundidade x e tempo t;
  • \,C_0 é a concentração inicial do núcleo ( 0,1\%);
  • \,C_s é a concentração mantida na superfície ( 1,2\%);
  • \,D é o coeficiente de difusão do carbono na austenita (em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} se usarmos x em cm e t em s);
  • \operatorname{erf} é a função erro (error function).
  • Nosso objetivo prático é encontrar o tempo t tal que C(x=0{,}2\\ \mathrm{cm},t)=0{,}45\%.
Comentário sobre a função \operatorname{erf}: é uma função monotônica; \operatorname{erf}(0)=0 e \operatorname{erf}(\infty)=1. Para valores intermediários podemos usar tabelas, calculadora científica ou aproximações numéricas. Vou mostrar como inverter a relação para resolver t.

Passo 3

Isolar t da solução. Começamos substituindo os números conhecidos na expressão da solução:
  • C_0 = 0{,}1\%, C_s = 1{,}2\%, C(x=0{,}2,t)=0{,}45\% e x=0{,}2\\ \mathrm{cm}.
Escrevendo a equação e isolando a função erro:
0{,}45 = 0{,}1 + (1{,}2-0{,}1)\operatorname{erf}\!\left(\frac{0{,}2}{2\sqrt{D\,t}}\right)
Primeiro calculo o fator da direita:
1{,}2-0{,}1=1{,}1
Subtraindo C_0 e dividindo:
\operatorname{erf}\!\left(\frac{0{,}2}{2\sqrt{D\,t}}\right)=\frac{0{,}45-0{,}1}{1{,}1}=\frac{0{,}35}{1{,}1}\approx 0{,}31818\ldots
Agora tomo a inversa da função erro:
\frac{0{,}2}{2\sqrt{D\,t}} = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}31818\ldots).
Usando uma tabela/valores numéricos da função inversa: \operatorname{erf}(0{,}29)\approx 0{,}319 então
\operatorname{erf}^{-1}(0{,}31818)\approx 0{,}289.
Chamando esse valor de z, ou seja z\approx 0{,}289, isolamos t:
\frac{0{,}2}{2\sqrt{D\,t}}=z\quad\Rightarrow\quad \sqrt{D\,t}=\frac{0{,}2}{2z}=\frac{0{,}1}{z}
D\,t=\left(\frac{0{,}1}{z}\right)^2\quad\Rightarrow\quad t=\frac{0{,}01}{D\,z^2}.
Substituindo z^2\approx (0{,}289)^2\approx 0{,}0835 temos a expressão prática:
t\approx\frac{0{,}01}{D\cdot 0{,}0835}\approx\frac{0{,}1196}{D}.
Ou seja, o tempo exigido (em segundos) é aproximadamente 0{,}1196/D quando D está em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Agora precisamos do coeficiente de difusão D para carbono em \gamma-Fe na temperatura de cementação. A relação de Arrhenius é:
D(T)=D_0\exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right)
onde:
  • D_0 é o pré-exponencial (unidades \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}),
  • Q é a energia de ativação (J/mol),
  • R é a constante universal dos gases \,R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Como os parâmetros exatos da sua aula não foram enviados aqui, uso valores típicos de literatura para carbono em austenita (esses são valores comuns em muitos livros e artigos; se você tiver os valores da sua aula, substitua-os e refaça o cálculo com a mesma fórmula):
D_0 = 0{,}2\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s},\qquad Q=80{,}000\\ \mathrm{J/mol}.
(Obs.: esses números são aproximados, mas suficientes para estimar o tempo e para entender a ordem de grandeza. Se na sua aula os parâmetros forem diferentes, o procedimento é idêntico.)
Escolho uma temperatura prática de cementação acima de 900^\circ\mathrm{C}. Vou calcular D para três temperaturas representativas e depois definir uma proposta prática:
  • 900^\circ\mathrm{C}=1173\\ \mathrm{K},
  • 950^\circ\mathrm{C}=1223\\ \mathrm{K},
  • 1000^\circ\mathrm{C}=1273\\ \mathrm{K}.
Cálculos (cada exponencial mostrado):
Para T=1173\\ \mathrm{K}:
\frac{Q}{R T}=\frac{80\,000}{8{,}314\times 1173}\approx 8{,}20
D(1173)=0{,}2\exp(-8{,}20)\approx 0{,}2\times 2{,}75\times 10^{-4}\approx 5{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Para T=1223\\ \mathrm{K}:
\frac{Q}{R T}\approx\frac{80\,000}{8{,}314\times 1223}\approx 7{,}87
D(1223)=0{,}2\exp(-7{,}87)\approx 0{,}2\times 3{,}82\times 10^{-4}\approx 7{,}64\times 10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Para T=1273\\ \mathrm{K}:
\frac{Q}{R T}\approx\frac{80\,000}{8{,}314\times 1273}\approx 7{,}56
D(1273)=0{,}2\exp(-7{,}56)\approx 0{,}2\times 5{,}19\times 10^{-4}\approx 1{,}04\times 10^{-4}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 5

Agora calculo o tempo t necessário para cada temperatura usando a fórmula t\approx 0{,}1196/D:
  • Para T=900^\circ\mathrm{C} ( D\approx 5{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}):
t\approx\frac{0{,}1196}{5{,}5\times 10^{-5}}\approx 2{,}17\times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 36\\ \mathrm{min}.
  • Para T=950^\circ\mathrm{C} ( D\approx 7{,}64\times 10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}):
t\approx\frac{0{,}1196}{7{,}64\times 10^{-5}}\approx 1{,}57\times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 26\\ \mathrm{min}.
  • Para T=1000^\circ\mathrm{C} ( D\approx 1{,}04\times 10^{-4}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}):
t\approx\frac{0{,}1196}{1{,}04\times 10^{-4}}\approx 1{,}15\times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 19\\ \mathrm{min}.
Interpretação prática: quanto maior a temperatura de cementação, maior D e menor o tempo necessário para atingir 0{,}45\% C a 0{,}2\\ \mathrm{cm}. No entanto, temperaturas muito altas podem provocar efeitos indesejáveis (crescimento de grão, oxidação, maior risco de distorção) e exigem controle de atmosfera. Por isso normalmente escolhe-se um compromisso entre tempo e segurança de processamento. Temperaturas típicas de cementação gasosa industrial ficam frequentemente entre 900^\circ e 950^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Proposta prática final e considerações industriais (passo a passo do tratamento térmico):
  • Cementação gasosa:
    • Temperatura proposta: \,950^\circ\mathrm{C} (ou seja 1223\\ \mathrm{K}), que está acima de 900^\circ\mathrm{C} e dá bom compromisso entre velocidade de difusão e controle do processo.
    • Atmosfera: controlar para manter a superfície em \,1{,}2\% (wt.) C durante todo o tempo.
    • Tempo calculado: cerca de \,26\\ \mathrm{min} (cálculo baseado nos parâmetros D_0=0{,}2\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} e Q=80{,}000\\ \mathrm{J/mol}; arredondo para considerações práticas).
    • Recomendações práticas: por segurança de processo e variações reais, usar um tempo operacional de segurança de \,30\\ \mathrm{min} a 950^\circ\mathrm{C}. Isso dá margem para pequenas variações no equipamento e garante atingir (ou ultrapassar ligeiramente) 0{,}45\% C a 0{,}2\\ \mathrm{cm}.
  • Resfriamento e têmpera:
    • Após a cementação, resfriar até a temperatura de têmpera desejada conforme procedimento para obter a microestrutura martensítica no enriquecimento superficial. Normalmente aquece-se novamente (se necessário) para homogeneizar e então realiza-se têmpera.
    • Têmpera (resfriamento rápido) para transformar a camada cementada (enriquecida em C) em martensita: escolher meio de têmpera conforme a liga (óleo é frequentemente usado para reduzir risco de fissura/distorsão; água dá resfriamento mais rápido mas risco maior de distorção). Recomendo têmpera em óleo para reduzir tensões excessivas.
  • Revenimento (tempering):
    • Para aliviar tensões e reduzir fragilidade, realizar revenido. Um revenido leve a moderado, por exemplo 180^\circ 200^\circ\mathrm{C} por 1 hora, é típico para reduzir fragilidade mantendo a dureza. A temperatura e tempo do revenido dependem da dureza alvo e das propriedades mecânicas desejadas.
  • Observações finais:
    • Se os parâmetros de difusão da sua aula forem diferentes dos usados aqui, substitua D e recalcule com a mesma fórmula t\approx 0{,}1196/D.
    • A recomendação operacional dada (cementação a 950^\circ\mathrm{C} por \sim 30\\ \mathrm{min} + têmpera em óleo + revenido) é prática e inclui margem de segurança. Em produção é comum verificar a profundidade de carboneto por ensaio metalográfico para confirmar o alcance desejado.

Resposta

Cementação gasosa a 950^\circ\mathrm{C} (austenita) mantendo a superfície em 1{,}2\% C por aproximadamente 30\\ \mathrm{min} (estimativa calculada \approx 26\\ \mathrm{min}); em seguida têmpera (resfriamento rápido) — por exemplo têmpera em óleo — para formar martensita na camada cementada, seguida de revenido leve (ex.: 180^\circ\mathrm{C} por 1 h) para aliviar tensões e reduzir fragilidade.

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