Em uma superfície esférica de raio R = 3, inscreve-se um cone circular reto de raio r = 2 √2. Calcule a área da superfície lateral do cone.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma esfera com raio $ R = 3 $ e dentro dela está inscrito um cone circular reto com raio da base $ r = 2\sqrt{2} $. Nosso objetivo é calcular a área lateral desse cone. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre cones e esferas, e aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar as medidas que faltam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área lateral de um cone. A fórmula é:
Onde:
- $ r $ é o raio da base do cone.
- $ l $ é a geratriz ou altura inclinada do cone (também chamada de geratriz).
A gente já tem o valor de $ r = 2\sqrt{2} $, mas falta descobrir o valor de $ l $.
Passo 3
Como o cone está inscrito na esfera, a geratriz $ l $ do cone é igual ao raio da esfera. Isso porque a geratriz vai do vértice do cone até qualquer ponto da base, passando pelo centro da esfera. Então temos:
Passo 4
Agora que temos $ l = 3 $, podemos calcular a área lateral substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
A área da superfície lateral do cone é $ 6\sqrt{2} , \pi $.