Em uma superfície esférica de raio R = 3, inscreve-se um cone circular reto de raio r = 2 √2. Calcule a área da superfície lateral do cone.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma esfera com raio $ R = 3 $ e dentro dela está inscrito um cone circular reto com raio da base $ r = 2\sqrt{2} $. Nosso objetivo é calcular a área lateral desse cone. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre cones e esferas, e aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar as medidas que faltam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área lateral de um cone. A fórmula é:
Alateral = pi cdot r cdot l
Onde:
  • $ r $ é o raio da base do cone.
  • $ l $ é a geratriz ou altura inclinada do cone (também chamada de geratriz).
A gente já tem o valor de $ r = 2\sqrt{2} $, mas falta descobrir o valor de $ l $.

Passo 3

Como o cone está inscrito na esfera, a geratriz $ l $ do cone é igual ao raio da esfera. Isso porque a geratriz vai do vértice do cone até qualquer ponto da base, passando pelo centro da esfera. Então temos:
l

Passo 4

Agora que temos $ l = 3 $, podemos calcular a área lateral substituindo na fórmula:
l = 3

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Alateral = pi cdot 2raiz2 cdot 3 = pi cdot 6raiz2 = 6raiz2 pi

Resposta

A área da superfície lateral do cone é $ 6\sqrt{2} , \pi $.

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