1. A superfície lateral de um cilindro reto é 150 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Calcule o volume sabendo que sua altura é o triplo da medida do raio.

Passo 1

O enunciado dá que a superfície lateral de um cilindro reto é 150\pi\\ \text{cm}^2 e que a altura é o triplo do raio. Pergunta: calcular o volume do cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Superfície lateral } S = 150\pi\\ \text{cm}^2í
\text{altura } h = 3r
onde r é o raio da base. O objetivo é encontrar V, o volume do cilindro.

Passo 2

Vamos lembrar e entender as fórmulas que precisamos usar (aí vem a aulinha rápida, calma que é tranquila).
A superfície lateral de um cilindro (sem as bases) é a área de um “retângulo” que se obtém ao desenrolar a lateral: a largura desse retângulo é a circunferência da base e a altura é a altura do cilindro. Então a fórmula é
S = 2\pi r\,h.
Aqui S é a superfície lateral, r é o raio da base e h é a altura. Explicando as letras: 2\pi r é a circunferência da base (comprimento ao redor), e multiplicando por h obtemos a área lateral.

Passo 3

Substituímos na fórmula da superfície lateral a relação h=3r e o valor dado para S. Escrevendo:
150\pi = 2\pi r \cdot h.
Agora substituímos h=3r:
150\pi = 2\pi r \cdot 3r.
No lado direito, multiplicamos 2\pi r por 3r:
150\pi = 6\pi r^2.

Passo 4

Agora isolamos r^2. Primeiro cancelamos \pi dos dois lados (como \pi aparece multiplicando ambos os lados, podemos dividir por \pi):
150 = 6 r^2.
Dividindo ambos os lados por 6:
r^2 = \frac{150}{6} = 25.
Como r é uma medida positiva, tomamos a raiz quadrada positiva:
r = 5\\ \text{cm}.

Passo 5

Com r encontrado, usamos h=3r para achar a altura:
h = 3r = 3\cdot 5 = 15\\ \text{cm}.
Ótimo — agora temos r e h.

Passo 6

Para o volume do cilindro, a fórmula é “área da base vezes altura”. A base é um círculo de raio r, cuja área é \pi r^2. Portanto a fórmula do volume é
V = \pi r^2 h.
Aqui V é o volume, \pi r^2 é a área da base e h é a altura.

Passo 7

Substituímos r=5 e h=15 na fórmula do volume:
V = \pi \cdot 5^2 \cdot 15.
Calculamos 5^2 = 25 e depois 25\cdot 15. Fazendo a conta:
25\cdot 15 = 25\cdot(10+5)=250+125=375.
Portanto
V = 375\pi\\ \text{cm}^3.
Conferência rápida: unidades ficam em \text{cm}^3, que é correto para volume.

Resposta

V = 375\pi\\ \text{cm}^3

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