Um supermercado selecionou um grupo de clientes durante o dia e obteve o quadro abaixo. Determine o valor mediano da série. Valor gasto (R$)/N° de clientes 0-20/11 20-40/8 40-60/12 60-80/9 Formula para o cálculo do valor mediano
A) Valor mediano = 23,55
B) Valor mediano = 31,77
C) Valor mediano = 41,66
D) Valor mediano = 50
E) Valor mediano = 65
A) Valor mediano = 23,55
B) Valor mediano = 31,77
C) Valor mediano = 41,66
D) Valor mediano = 50
E) Valor mediano = 65
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um supermercado que coletou dados sobre quanto os clientes gastaram durante o dia. A tabela mostra intervalos de valores gastos e o número de clientes em cada intervalo. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mediano dessa série de gastos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a mediana em uma distribuição de frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a mediana. A mediana é o valor que separa a metade superior da metade inferior dos dados. Em outras palavras, metade dos clientes gastou menos que a mediana e a outra metade gastou mais.
Passo 3
Como temos os dados organizados em intervalos com suas respectivas frequências, vamos precisar usar a fórmula da mediana para dados agrupados. Essa fórmula é:
Onde:
- $ L $ = Limite inferior da classe mediana
- $ N $ = Número total de observações
- $ CF $ = Frequência acumulada antes da classe mediana
- $ f $ = Frequência da classe mediana
- $ w $ = Largura do intervalo de classe
Passo 4
Vamos organizar os dados e calcular algumas coisas. Primeiro, vamos calcular o número total de clientes ($ N $) somando todas as frequências:
Agora, queremos encontrar a posição da mediana, que é $ \frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20 $. Isso significa que a mediana estará no 20º cliente.
Passo 5
Vamos agora calcular as frequências acumuladas para identificar em qual classe a mediana está. As frequências acumuladas são:
- Primeira classe (0-20): 11
- Segunda classe (20-40): 11 + 8 = 19
- Terceira classe (40-60): 19 + 12 = 31
- Quarta classe (60-80): 31 + 9 = 40
Observamos que a posição 20 está na terceira classe (40-60), porque até a segunda classe temos 19 clientes, e a posição 20 está logo após isso.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a fórmula da mediana.
- $ L = 40 $ (limite inferior da classe mediana 40-60)
- $ N = 40 $
- $ CF = 19 $ (frequência acumulada antes da classe mediana)
- $ f = 12 $ (frequência da classe mediana)
- $ w = 20 $ (largura do intervalo de classe, já que 60 - 40 = 20)
Substituindo na fórmula:
Resposta
A opção correta é a C) Valor mediano = 41,66.