Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com
. Foi retirada uma amostra de 100 alunos, obtendo-se
. Que tamanho deverá ser a amostra para que amplitude do intervalo de
de confiança para a média seja 4 cm . R.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A gente quer descobrir o tamanho da amostra necessário para que o intervalo de confiança de 95% para a média das alturas dos alunos tenha uma amplitude de 4 cm. A gente sabe que as alturas seguem uma distribuição normal com desvio padrão
. Na primeira amostra, tiramos 100 alunos e a média foi
. Agora, vamos descobrir qual deve ser o novo tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo seja de 4 cm.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula geral é:
Aqui:
-
é a média da amostra. -
é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Para um nível de confiança de 95%, o valor de
é aproximadamente 1,96. Isso significa que queremos que a margem de erro (a parte que multiplica o
) seja tal que a diferença total, ou seja, a amplitude do intervalo de confiança, seja de 4 cm. Como a amplitude é duas vezes a margem de erro, queremos que:
Passo 4
Vamos isolar
na equação. Primeiro, simplificamos a equação:
Agora, substituímos os valores que conhecemos:
Passo 5
Para encontrar
, dividimos ambos os lados da equação por 1,96:
Calculando a divisão do lado direito:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por 1,0204:
Passo 7
Finalmente, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é
.