Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com sigma=15 cm. Foi retirada uma amostra de 100 alunos, obtendo-se barx=175 cm. Que tamanho deverá ser a amostra para que amplitude do intervalo de 95 % de confiança para a média seja 4 cm . R. n=216.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A gente quer descobrir o tamanho da amostra necessário para que o intervalo de confiança de 95% para a média das alturas dos alunos tenha uma amplitude de 4 cm. A gente sabe que as alturas seguem uma distribuição normal com desvio padrão sigma = 15 cm. Na primeira amostra, tiramos 100 alunos e a média foi barx = 175 cm. Agora, vamos descobrir qual deve ser o novo tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo seja de 4 cm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula geral é:
barx pm z times ( sigmaraizn )
Aqui:
  • barx é a média da amostra.
  • z é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Para um nível de confiança de 95%, o valor de z é aproximadamente 1,96. Isso significa que queremos que a margem de erro (a parte que multiplica o z) seja tal que a diferença total, ou seja, a amplitude do intervalo de confiança, seja de 4 cm. Como a amplitude é duas vezes a margem de erro, queremos que:
2 times ( z times sigmaraizn ) = 4 cm

Passo 4

Vamos isolar n na equação. Primeiro, simplificamos a equação:
z times sigmaraizn = 2 cm
Agora, substituímos os valores que conhecemos:
1,96 times 15raizn = 2

Passo 5

Para encontrar raizn, dividimos ambos os lados da equação por 1,96:
15raizn = 21,96
Calculando a divisão do lado direito:
21,96 approx 1,0204
Então:
15raizn approx 1,0204

Passo 6

Agora, resolvemos para raizn multiplicando ambos os lados por raizn e dividindo por 1,0204:
raizn = 151,0204 approx 14,7

Passo 7

Finalmente, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar n:
n = (14,7)^2 approx 216

Resposta

O tamanho da amostra necessário é n = 216.

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