Suponha uma classe de 6 meninas e 10 meninos. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de,
(ii) exatamente 2 meninos

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \;6\; meninas e \;10\; meninos, totalizando \;16\; alunos.
  • Uma comissão de \;3\; pessoas é escolhida aleatoriamente dentre os \;16\;.
    O que é pedido:
  • A probabilidade de que a comissão contenha exatamente \;2\; meninos (ou seja, 2 meninos e 1 menina).

Passo 2

Conceito que vamos usar: número de maneiras de escolher sem ordem.
Quando escolhemos subconjuntos (sem ordem) de um conjunto maior usamos combinações. A combinação de n elementos tomados k a k é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot2\cdot1.
Exemplo rápido: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.

Passo 3

Calculamos primeiro o número total de comissões possíveis (denominador da probabilidade): escolher qualquer \;3\; dentre os \;16\; alunos.
\text{Total}=\binom{16}{3}.
Vamos calcular \binom{16}{3} passo a passo:
\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=\frac{3360}{6}=560.

Passo 4

Agora contamos as comissões favoráveis (numerador): exatamente \;2\; meninos e \;1\; menina.
Pelo princípio da multiplicação, o número de maneiras é o produto do número de maneiras de escolher os meninos pelo número de maneiras de escolher a menina:
\text{Favoráveis}=\binom{10}{2}\cdot\binom{6}{1}.á

Passo 5

Calculamos as combinações:
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45, \qquad \binom{6}{1}=6.
Logo
\text{Favoráveis}=45\cdot6=270.á

Passo 6

A probabilidade é a razão entre favoráveis e total:
P(\text{exatamente 2 meninos})=\frac{270}{560}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 10:
\frac{270}{560}=\frac{27}{56}.
Em forma decimal aproximada isso vale \;0,482142857\ldots (ou seja \;0,482142857\ldots usando vírgula).

Passo 7

Dica prática para prova: monte sempre o numerador como “escolher os que entram de cada categoria” e multiplique; o denominador é “escolher todos sem restrição”. Use \binom{n}{k} e simplifique frações antes de calcular para evitar contas longas. Você também pode checar coerência: \frac{27}{56} está entre 0 e 1 e próxima de 1/2, o que faz sentido pois há mais meninos que meninas.

Resposta

\dfrac{27}{56} \approx 0,482142857\ldots