Suponha que em determinado trajeto um automóvel esteja a uma velocidade dada pela seguinte função v(t) - 3x? + 2, com tempo medido em segundos e posição dada em metro. Qual é a função posição s(t) desse automóvel, sabendo que no tempo 2 segundos ele está na posição 20 metros?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a velocidade de um carro em um certo trajeto, dada pela função $ v(t) = 3t^2 + 2 $, onde $ t $ é o tempo em segundos e $ v(t) $ é a velocidade em metros por segundo. Queremos descobrir a função posição $ s(t) $ desse carro, sabendo que quando $ t = 2 $ segundos, a posição $ s(t) $ é 20 metros. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, porque a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição de um objeto em movimento pode ser encontrada integrando a função velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se você tem a velocidade $ v(t) $, a posição $ s(t) $ é dada por:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a informação adicional que a posição é 20 metros no tempo 2 segundos.
Passo 3
Vamos então integrar a função velocidade $ v(t) = 3t^2 + 2 $:
Vamos integrar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, usamos a condição que nos foi dada: quando $ t = 2 $ segundos, $ s(t) = 20 $ metros. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar $ C $:
Resposta
A função posição é: