Suponha que em determinado trajeto um automóvel esteja a uma velocidade dada pela seguinte função v(t) - 3x? + 2, com tempo medido em segundos e posição dada em metro. Qual é a função posição s(t) desse automóvel, sabendo que no tempo 2 segundos ele está na posição 20 metros?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a velocidade de um carro em um certo trajeto, dada pela função $ v(t) = 3t^2 + 2 $, onde $ t $ é o tempo em segundos e $ v(t) $ é a velocidade em metros por segundo. Queremos descobrir a função posição $ s(t) $ desse carro, sabendo que quando $ t = 2 $ segundos, a posição $ s(t) $ é 20 metros. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, porque a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição de um objeto em movimento pode ser encontrada integrando a função velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se você tem a velocidade $ v(t) $, a posição $ s(t) $ é dada por:
v(t)
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a informação adicional que a posição é 20 metros no tempo 2 segundos.

Passo 3

Vamos então integrar a função velocidade $ v(t) = 3t^2 + 2 $:
v(t) = 3t^2 + 2
Vamos integrar termo a termo:
s(t) = integral (3t^2 + 2) , dt
integral 3t^2 , dt = 3 cdot t^33 = t^3
Então, juntando tudo:
integral 2 , dt = 2t

Passo 4

Agora, usamos a condição que nos foi dada: quando $ t = 2 $ segundos, $ s(t) = 20 $ metros. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar $ C $:
t = 2
s(t) = 20
C
20 = (2)^3 + 2(2) + C
20 = 8 + 4 + C

Resposta

A função posição é:
s(t) = t^3 + 2t + 8

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