Suponha que, no Efeito Doppler para o som, a fonte e o receptor estejam em repouso num dado referencial, mas o meio transmissor (ar) esteja se movendo em relação a este referencial. Haverá alguma mudança no comprimento de onda ou na freqüência recebidos?

Passo 1

O enunciado pergunta se, quando a fonte e o receptor estão em repouso num referencial qualquer (o “laboratório”) e o meio transmissor (o ar) está se movendo com velocidade relativa a esse referencial, haverá mudança no comprimento de onda recebido ou na frequência recebida. Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • A fonte e o receptor estão em repouso no referencial do laboratório.
  • O meio (ar) move-se com velocidade \,u\,$ relativa ao laboratório (direção e sinal podem ser positivos ou negativos conforme o problema). - A velocidade do som em repouso com o meio é \(\,c\,$ (isto é, medida no referencial do meio). - A fonte emite com frequência própria \(\,f_s\,$ (número de ciclos por segundo que a fonte gera, medido no laboratório também, já que a fonte está em repouso no laboratório). A pergunta a responder é: haverá alteração em (i) a frequência recebida pelo receptor e (ii) o comprimento de onda observado no laboratório?

Passo 2

Entendendo fisicamente o que define frequência e comprimento de onda para ondas sonoras.
  • A frequência emitida pela fonte, \,f_s, é o número de frentes de onda que a fonte “lança” por segundo. Em física clássica (aproximação não relativística) o intervalo de tempo entre pulsações é o mesmo em todos os referenciais inerciais, então a fonte lança \,f_s frentes por segundo independentemente do movimento do meio.
  • O comprimento de onda relaciona-se com a velocidade de propagação da onda no referencial considerado e com a frequência por
\lambda = \frac{v_{\text{onda}}}{f},
onde \lambda é o comprimento de onda (no referencial onde se mede), v_{\text{onda}} é a velocidade da onda nesse referencial, e f é a frequência temporal das frentes nesse referencial.
Vou usar essas ideias para analisar separadamente frequência e comprimento de onda no referencial do laboratório.

Passo 3

Determinar a velocidade da onda no referencial do laboratório.
  • No referencial do meio (ar em repouso) a velocidade do som vale \,c.
  • Se o meio se move com velocidade \,u em relação ao laboratório e a onda se propaga na mesma direção, então, pela soma vetorial de velocidades em mecânica clássica, a velocidade da onda relativa ao laboratório é
v_{\text{lab}} = c + u
(se a direção da propagação for a mesma do movimento do meio; se for oposta, seria v_{\text{lab}}=c-u). Aqui vou manter a forma c+u entendendo que o sinal de u já indica direção.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda observado no laboratório.
  • A fonte emite \,f_s frentes por segundo. Essas frentes viajam no laboratório com velocidade v_{\text{lab}}=c+u.
  • Pelo relacionamento comprimento de onda = velocidade / frequência, o comprimento de onda medido no laboratório vale
\lambda_{\text{lab}}=\frac{v_{\text{lab}}}{f_s}=\frac{c+u}{f_s}.
Portanto o comprimento de onda observado no laboratório muda com o movimento do meio: quando u\neq0 o valor de \lambda_{\text{lab}} difere de \lambda_0=c/f_s (o comprimento de onda que haveria se o meio estivesse em repouso no laboratório).

Passo 5

Calcular a frequência recebida pelo receptor (que está em repouso no laboratório).
  • O receptor, estando em repouso no laboratório, “vê” as frentes atingirem-no com uma velocidade relativa igual a v_{\text{lab}}=c+u.
  • A taxa com que as frentes passam pelo receptor (ou seja, a frequência recebida \,f_r) é o número de frentes por segundo que atravessam o receptor, que é a velocidade com que as frentes passam dividida pelo espaçamento entre elas:
f_r=\frac{v_{\text{lab}}}{\lambda_{\text{lab}}}.
  • Substituindo \lambda_{\text{lab}}=\dfrac{c+u}{f_s} e v_{\text{lab}}=c+u obtemos
f_r=\frac{c+u}{\dfrac{c+u}{f_s}}=f_s.
Assim, a frequência recebida coincide exatamente com a frequência emitida pela fonte: não há mudança de frequência quando fonte e receptor estão em repouso no laboratório, mesmo que o meio esteja em movimento.

Passo 6

Interpretação física e comparação com a fórmula geral do efeito Doppler (útil para provas).
  • Interpretação: a frequência temporal da onda é fixada pela taxa de emissão da fonte ( f_s). O movimento do meio altera a velocidade com que as frentes se deslocam no laboratório e, portanto, altera o comprimento de onda no laboratório, mas como o receptor está “ligado” ao mesmo referencial do qual a fonte está em repouso, ele conta exatamente o mesmo número de frentes por segundo que a fonte emite. Logo, sem movimento relativo entre fonte e receptor (mesmo com vento/fluxo do ar), não há mudança de frequência.
  • Fórmula geral do Doppler para som em um meio estacionário (observador e fonte com velocidades relativas ao meio v_r e v_s, respectivamente) é
f_r=f_s\frac{c+v_r}{c+v_s}.
Se a fonte e o receptor têm a mesma velocidade relativa ao meio (por exemplo ambos têm velocidade -u no referencial do meio porque o meio tem velocidade u no laboratório), então v_r=v_s e a fração é 1, dando f_r=f_s. Isso confirma algebraicamente o que já vimos.

Resposta

A frequência recebida é igual à frequência emitida: f_r=f_s.
O comprimento de onda observado no referencial do laboratório muda para \lambda_{\text{lab}}=\dfrac{c+u}{f_s} (ou, se a onda se propaga em sentido contrário ao movimento do meio, \lambda_{\text{lab}}=\dfrac{c-u}{f_s}).

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