Suponha que, no Efeito Doppler para o som, a fonte e o receptor estejam em repouso num dado referencial, mas o meio transmissor (ar) esteja se movendo em relação a este referencial. Haverá alguma mudança no comprimento de onda ou na freqüência recebidos?
Passo 1
O enunciado pergunta se, quando a fonte e o receptor estão em repouso num referencial qualquer (o “laboratório”) e o meio transmissor (o ar) está se movendo com velocidade relativa a esse referencial, haverá mudança no comprimento de onda recebido ou na frequência recebida. Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- A fonte e o receptor estão em repouso no referencial do laboratório.
- O meio (ar) move-se com velocidade
Passo 2
Entendendo fisicamente o que define frequência e comprimento de onda para ondas sonoras.
- A frequência emitida pela fonte,
, é o número de frentes de onda que a fonte “lança” por segundo. Em física clássica (aproximação não relativística) o intervalo de tempo entre pulsações é o mesmo em todos os referenciais inerciais, então a fonte lança frentes por segundo independentemente do movimento do meio. - O comprimento de onda relaciona-se com a velocidade de propagação da onda no referencial considerado e com a frequência por
onde
é o comprimento de onda (no referencial onde se mede),
é a velocidade da onda nesse referencial, e
é a frequência temporal das frentes nesse referencial.
Vou usar essas ideias para analisar separadamente frequência e comprimento de onda no referencial do laboratório.
Passo 3
Determinar a velocidade da onda no referencial do laboratório.
- No referencial do meio (ar em repouso) a velocidade do som vale
. - Se o meio se move com velocidade
em relação ao laboratório e a onda se propaga na mesma direção, então, pela soma vetorial de velocidades em mecânica clássica, a velocidade da onda relativa ao laboratório é
(se a direção da propagação for a mesma do movimento do meio; se for oposta, seria
). Aqui vou manter a forma
entendendo que o sinal de
já indica direção.
Passo 4
Calcular o comprimento de onda observado no laboratório.
- A fonte emite
frentes por segundo. Essas frentes viajam no laboratório com velocidade . - Pelo relacionamento comprimento de onda = velocidade / frequência, o comprimento de onda medido no laboratório vale
Portanto o comprimento de onda observado no laboratório muda com o movimento do meio: quando
o valor de
difere de
(o comprimento de onda que haveria se o meio estivesse em repouso no laboratório).
Passo 5
Calcular a frequência recebida pelo receptor (que está em repouso no laboratório).
- O receptor, estando em repouso no laboratório, “vê” as frentes atingirem-no com uma velocidade relativa igual a
. - A taxa com que as frentes passam pelo receptor (ou seja, a frequência recebida
) é o número de frentes por segundo que atravessam o receptor, que é a velocidade com que as frentes passam dividida pelo espaçamento entre elas:
- Substituindo
e obtemos
Assim, a frequência recebida coincide exatamente com a frequência emitida pela fonte: não há mudança de frequência quando fonte e receptor estão em repouso no laboratório, mesmo que o meio esteja em movimento.
Passo 6
Interpretação física e comparação com a fórmula geral do efeito Doppler (útil para provas).
- Interpretação: a frequência temporal da onda é fixada pela taxa de emissão da fonte (
). O movimento do meio altera a velocidade com que as frentes se deslocam no laboratório e, portanto, altera o comprimento de onda no laboratório, mas como o receptor está “ligado” ao mesmo referencial do qual a fonte está em repouso, ele conta exatamente o mesmo número de frentes por segundo que a fonte emite. Logo, sem movimento relativo entre fonte e receptor (mesmo com vento/fluxo do ar), não há mudança de frequência. - Fórmula geral do Doppler para som em um meio estacionário (observador e fonte com velocidades relativas ao meio
e , respectivamente) é
Se a fonte e o receptor têm a mesma velocidade relativa ao meio (por exemplo ambos têm velocidade
no referencial do meio porque o meio tem velocidade
no laboratório), então
e a fração é
, dando
. Isso confirma algebraicamente o que já vimos.
Resposta
A frequência recebida é igual à frequência emitida:
.
O comprimento de onda observado no referencial do laboratório muda para (ou, se a onda se propaga em sentido contrário ao movimento do meio,
).
O comprimento de onda observado no referencial do laboratório muda para