Suponha que a estatura de recém-nascidos do sexo masculino é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 50 cm e desvio padrão 2.5 cm . Calcule a probabilidade de um recém-nascido do sexo masculino ter estatura:
Superior a 52 cm ;
Superior a 52 cm ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a estatura de recém-nascidos do sexo masculino, que segue uma distribuição normal com média de 50 cm e desvio padrão de 2,5 cm. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de um recém-nascido ter mais de 52 cm de estatura. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e cálculo de probabilidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma distribuição normal. Ela é uma curva simétrica onde a maioria dos valores se concentra ao redor da média. No nosso caso, a média é 50 cm e o desvio padrão é 2,5 cm. Queremos saber a probabilidade de um valor ser maior que 52 cm.
Passo 3
Para calcular esta probabilidade, vamos transformar o valor 52 cm em um valor padronizado chamado z-score. O z-score nos mostra quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula para calcular o z-score é:
onde:
- $ X $ é o valor que queremos avaliar (52 cm),
- $ \mu $ é a média (50 cm),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (2,5 cm).
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Então, o z-score é 0,8.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z > 0,8 $ na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá a probabilidade de $ Z $ ser menor que um certo valor. Primeiro, encontramos $ P(Z < 0,8) $.
Consultando a tabela, $ P(Z < 0,8) $ é aproximadamente 0,7881.
Passo 6
Como queremos a probabilidade de $ Z > 0,8 $, fazemos:
Resposta
A probabilidade de um recém-nascido do sexo masculino ter estatura superior a 52 cm é de aproximadamente 21,19%.