Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X seja f(x)=0,5 para -1 \leqslant x \leqslant 1 e zero para os demais valores. Encontre g(y), a f.d.p. de Y, e G(y), sua f.a.p, para:
Y=e^{X}
R. (c) g(y)=\frac{0,5}{y} para e^{-1} \leqslant y \leqslant e, g(y)=0 para os demais casos; G(y)=0 se y<e^{-1}, G(y)=0,5(\ln y+1) se e^{-1} \leqslant y \leqslant e, G(y)=1 se y>e.
Passo 1
O enunciado diz que a densidade de probabilidade de X é
f(x)=0,5\quad\text{para}\quad -1\le x\le 1,
e f(x)=0 fora desse intervalo. Define-se Y=e^{X}. O que o exercício pede:
Encontrar g(y), a f.d.p. (densidade) de Y.
Encontrar G(y), a f.a.p. (função de distribuição acumulada) de Y.
Informações relevantes dadas:
X tem suporte [-1,1].
A transformação é Y=e^{X}.
Os extremos do suporte de X se transformam em e^{-1} e e^{1}=\!e. Portanto o suporte de Y estará contido em [e^{-1},e].
Passo 2
Ideia básica (explicando a ferramenta que usaremos): para qualquer variável contínua X e Y=h(X) com h monótona, a f.a.p. de Y é obtida por
G(y)=P(Y\le y)=P(h(X)\le y).
Se h é estritamente crescente, isso vira G(y)=P\big(X\le h^{-1}(y)\big). Aqui h(x)=e^{x} é estritamente crescente e tem inversa h^{-1}(y)=\ln y. Logo, para valores de y onde a inversa faz sentido, teremos
G(y)=P\big(X\le \ln y\big).
Essa é a chave: transformar o problema em calcular probabilidades de X, que conhecemos.
Passo 3
Determinar os intervalos de y onde G(y) toma valores triviais:
Se y<e^{-1}, então \ln y < -1. Como X nunca é menor que -1, temos P(X\le \ln y)=0. Logo G(y)=0 para y<e^{-1}.
Se y>e, então \ln y>1. Como X\le 1 sempre, P(X\le \ln y)=1. Logo G(y)=1 para y>e.
O caso interessante é e^{-1}\le y\le e, onde \ln y fica entre -1 e 1 e a probabilidade é parcial.
Aqui h^{-1}(y)=\ln y, \frac{d}{dy}\ln y=\frac{1}{y} e f(\ln y)=0,5 para \ln y\in[-1,1], ou seja y\in[e^{-1},e]. Logo g(y)=0,5\cdot\frac{1}{y}, como obtido antes.
Passo 8
Checagem final de normalização: calcular \displaystyle\int_{e^{-1}}^{e}\frac{0,5}{y}\,dy=0,5(\ln e-\ln e^{-1})=0,5(1-(-1))=1. Excelente — a densidade integra 1.
Resposta
g(y)=\dfrac{0,5}{y} para e^{-1}\le y\le e, g(y)=0 para os demais casos.\n G(y)=0 se y<e^{-1}, G(y)=0,5(\ln y+1) se e^{-1}\le y\le e, G(y)=1 se y>e.