Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X seja f(x)=0,5 para -1 \leqslant x \leqslant 1 e zero para os demais valores. Encontre g(y), a f.d.p. de Y, e G(y), sua f.a.p, para:
Y=e^{X}
R. (c) g(y)=\frac{0,5}{y} para e^{-1} \leqslant y \leqslant e, g(y)=0 para os demais casos; G(y)=0 se y<e^{-1}, G(y)=0,5(\ln y+1) se e^{-1} \leqslant y \leqslant e, G(y)=1 se y>e.

Passo 1

O enunciado diz que a densidade de probabilidade de X é
f(x)=0,5\quad\text{para}\quad -1\le x\le 1,
e f(x)=0 fora desse intervalo. Define-se Y=e^{X}. O que o exercício pede:
  • Encontrar g(y), a f.d.p. (densidade) de Y.
  • Encontrar G(y), a f.a.p. (função de distribuição acumulada) de Y.
Informações relevantes dadas:
  • X tem suporte [-1,1].
  • A transformação é Y=e^{X}.
  • Os extremos do suporte de X se transformam em e^{-1} e e^{1}=\!e. Portanto o suporte de Y estará contido em [e^{-1},e].

Passo 2

Ideia básica (explicando a ferramenta que usaremos): para qualquer variável contínua X e Y=h(X) com h monótona, a f.a.p. de Y é obtida por
G(y)=P(Y\le y)=P(h(X)\le y).
Se h é estritamente crescente, isso vira G(y)=P\big(X\le h^{-1}(y)\big). Aqui h(x)=e^{x} é estritamente crescente e tem inversa h^{-1}(y)=\ln y. Logo, para valores de y onde a inversa faz sentido, teremos
G(y)=P\big(X\le \ln y\big).
Essa é a chave: transformar o problema em calcular probabilidades de X, que conhecemos.

Passo 3

Determinar os intervalos de y onde G(y) toma valores triviais:
  • Se y<e^{-1}, então \ln y < -1. Como X nunca é menor que -1, temos P(X\le \ln y)=0. Logo G(y)=0 para y<e^{-1}.
  • Se y>e, então \ln y>1. Como X\le 1 sempre, P(X\le \ln y)=1. Logo G(y)=1 para y>e.
  • O caso interessante é e^{-1}\le y\le e, onde \ln y fica entre -1 e 1 e a probabilidade é parcial.

Passo 4

Calcular G(y) para e^{-1}\le y\le e. Usamos
G(y)=P\big(X\le \ln y\big)=\int_{-\infty}^{\ln y} f(x)\,dx.
Como f(x)=0,5 somente em [-1,1] e zero fora, o integral reduz-se a integrar de -1 até \ln y:
G(y)=\int_{-1}^{\ln y} 0,5\,dx.
Calcule o integral: integrar uma constante 0,5 em x 0,5x, então
G(y)=0,5\big(\ln y - (-1)\big)=0,5(\ln y+1).
Isso vale exatamente para e^{-1}\le y\le e.

Passo 5

Resumo da f.a.p. G(y) juntando todos os intervalos (checando os valores nas bordas):
  • Para y<e^{-1}: G(y)=0.
  • Para e^{-1}\le y\le e: G(y)=0,5(\ln y+1).
  • Para y>e: G(y)=1.
Verificação rápida nas bordas:
  • Em y=e^{-1}: \ln y=-1 G(e^{-1})=0,5(-1+1)=0.
  • Em y=e: \ln y=1 G(e)=0,5(1+1)=1.
    Tudo consistente.

Passo 6

Obter a f.d.p. g(y) diferenciando G(y) onde for contínua (i.e., para e^{-1}<y<e):
g(y)=G'(y)=\frac{d}{dy}\big[0,5(\ln y+1)\big]=0,5\cdot\frac{1}{y}=\frac{0,5}{y}.
Para y fora de [e^{-1},e] a densidade vale zero. Assim
g(y)=\frac{0,5}{y}\quad\text{para}\quad e^{-1}\le y\le e,
e g(y)=0 nos demais y.

Passo 7

Outra forma de ver (fórmula geral de mudança de variável, para confirmar): se Y=h(X) com h estritamente monotona, então
g(y)=f\big(h^{-1}(y)\big)\left|\frac{d}{dy}h^{-1}(y)\right|.
Aqui h^{-1}(y)=\ln y, \frac{d}{dy}\ln y=\frac{1}{y} e f(\ln y)=0,5 para \ln y\in[-1,1], ou seja y\in[e^{-1},e]. Logo g(y)=0,5\cdot\frac{1}{y}, como obtido antes.

Passo 8

Checagem final de normalização: calcular \displaystyle\int_{e^{-1}}^{e}\frac{0,5}{y}\,dy=0,5(\ln e-\ln e^{-1})=0,5(1-(-1))=1. Excelente — a densidade integra 1.

Resposta

g(y)=\dfrac{0,5}{y} para e^{-1}\le y\le e, g(y)=0 para os demais casos.\n
G(y)=0 se y<e^{-1}, G(y)=0,5(\ln y+1) se e^{-1}\le y\le e, G(y)=1 se y>e.

Exercícios relacionados