Suponha que f é derivável para x>x_{0} e \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=L. Mostre que
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=L

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informações dadas:
    • f é derivável para x>x_{0}.
    • \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f'(x)=L.
  • O que é pedido:
    • Mostrar que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}=L.
Nada mais será assumido; a partir dessas hipóteses vamos construir a demonstração passo a passo.

Passo 2

Ideia e ferramenta principal (explicada): vamos relacionar quocientes incrementais de f com valores de f' usando o Teorema do Valor Médio de Cauchy (uma versão generalizada do Teorema do Valor Médio). Vou enunciar e explicar essa ferramenta de forma simples.
Enunciado do Teorema do Valor Médio de Cauchy (forma usada aqui):
Se u e v são funções contínuas em [a,b] e diferenciáveis em (a,b), e se v'(x)\neq 0 em (a,b), então existe \xi\in(a,b) tal que
\frac{u(b)-u(a)}{v(b)-v(a)}=\frac{u'(\xi)}{v'(\xi)}.
Intuição rápida: compara-se o crescimento médio de u e v no intervalo; em algum ponto as taxas instantâneas têm a mesma razão que os crescimentos médios.
Por que usar esse teorema aqui?
  • Podemos aplicar com u=f e v(x)=x (a função identidade). Ambas são contínuas e diferenciáveis em qualquer intervalo [a,x] com a>x_{0}; além disso v'(t)=1\neq 0. Isso nos dá uma relação direta entre o quociente de diferenças de f e um valor de f' dentro do intervalo.

Passo 3

Aplicação concreta do Teorema de Cauchy: fixe um ponto a tal que a>x_{0}. Para cada x>a o Teorema de Cauchy garante a existência de \xi=\xi(x)\in(a,x) tal que
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi).
Explique cuidadosamente: o lado esquerdo é o crescimento médio de f entre a e x; o teorema diz que esse crescimento médio é exatamente o valor da derivada em algum ponto \xi entre a e x.
Agora use a hipótese sobre f': como \displaystyle \lim_{t\to+\infty} f'(t)=L, e como \xi=\xi(x) satisfaz \xi\in(a,x), quando x\to+\infty obrigatoriamente \xi\to+\infty. Mais formalmente: dado \varepsilon>0 existe M tal que |f'(t)-L|<\varepsilon para todo t>M; escolhendo x>M temos \xi>M e então |f'(\xi)-L|<\varepsilon. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L.

Passo 4

Transformação algébrica para obter \dfrac{f(x)}{x}: escrevemos f(x)/x manipulando termos que já aparecem na identidade acima.
Partimos de
\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(a)}{x}+\frac{f(a)}{x}.
Agora escrevemos \dfrac{f(x)-f(a)}{x} como o produto de dois fatores mais fáceis:
\frac{f(x)-f(a)}{x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot\frac{x-a}{x}.
Logo
\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot\frac{x-a}{x}+\frac{f(a)}{x}.

Passo 5

Passo de limite usando limites dos fatores (o momento chave para concluir):
  • Do Passo 3 temos \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L.
  • É claro que \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-a}{x}=1.
  • Também \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(a)}{x}=0 porque f(a) é constante.
Multiplicando e somando limites (teoremas usuais sobre limites) obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=L\cdot 1 + 0 = L.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=L

Exercícios relacionados