Suponha que
é derivável para
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
-
Informações dadas:
-
é derivável para . -
.
-
-
O que é pedido:
- Mostrar que
.
- Mostrar que
Nada mais será assumido; a partir dessas hipóteses vamos construir a demonstração passo a passo.
Passo 2
Ideia e ferramenta principal (explicada): vamos relacionar quocientes incrementais de
com valores de
usando o Teorema do Valor Médio de Cauchy (uma versão generalizada do Teorema do Valor Médio). Vou enunciar e explicar essa ferramenta de forma simples.
Enunciado do Teorema do Valor Médio de Cauchy (forma usada aqui):
Se e
são funções contínuas em
e diferenciáveis em
, e se
em
, então existe
tal que
Se
Intuição rápida: compara-se o crescimento médio de
e
no intervalo; em algum ponto as taxas instantâneas têm a mesma razão que os crescimentos médios.
Por que usar esse teorema aqui?
- Podemos aplicar com
e (a função identidade). Ambas são contínuas e diferenciáveis em qualquer intervalo com ; além disso . Isso nos dá uma relação direta entre o quociente de diferenças de e um valor de dentro do intervalo.
Passo 3
Aplicação concreta do Teorema de Cauchy: fixe um ponto
tal que
. Para cada
o Teorema de Cauchy garante a existência de
tal que
Explique cuidadosamente: o lado esquerdo é o crescimento médio de
entre
e
; o teorema diz que esse crescimento médio é exatamente o valor da derivada em algum ponto
entre
e
.
Agora use a hipótese sobre
: como
, e como
satisfaz
, quando
obrigatoriamente
. Mais formalmente: dado
existe
tal que
para todo
; escolhendo
temos
e então
. Portanto
Passo 4
Transformação algébrica para obter
: escrevemos
manipulando termos que já aparecem na identidade acima.
Partimos de
Agora escrevemos
como o produto de dois fatores mais fáceis:
Logo
Passo 5
Passo de limite usando limites dos fatores (o momento chave para concluir):
- Do Passo 3 temos
. - É claro que
. - Também
porque é constante.
Multiplicando e somando limites (teoremas usuais sobre limites) obtemos