Suponha que uma fonte de corrente tenha uma corrente ideal de 10 mA e uma resistência interna de 10 \mathrm{M} \Omega, para quais valores de resistência de carga a fonte de corrente poderia ser aproximada para ideal?

Passo 1

O enunciado dá uma fonte de corrente com corrente ideal de 10\\ \mathrm{mA} e resistência interna de 10\\ \mathrm{M}\Omega. A pergunta é: para quais valores de resistência de carga a fonte de corrente pode ser aproximada por uma fonte de corrente ideal?
Informações fornecidas:
  • Corrente ideal da fonte: I_s = 10\\ \mathrm{mA}.
  • Resistência interna da fonte: R_{\text{int}} = 10\\ \mathrm{M}\Omega.
  • Resistência de carga: R_L (valor a ser determinado para que a fonte seja aprox. ideal).

Passo 2

Modelo físico e ideia qualitativa (sem ainda calcular): uma fonte de corrente prática costuma ser modelada por uma fonte de corrente ideal em paralelo com uma resistência interna finita. Intuitivamente, quanto maior for a resistência interna em comparação com a resistência de carga, menos corrente “vaza” pela resistência interna e mais corrente vai para a carga — ou seja, a fonte se comporta como ideal. Portanto a condição qualitativa é que a resistência de carga seja muito menor que a resistência interna, ou seja R_L \ll R_{\text{int}}. A seguir vamos quantificar isso.

Passo 3

Definição das variáveis e derivação exata da corrente na carga usando divisão de corrente.
  • I_s = corrente da fonte ideal.
  • R_{\text{int}} = resistência interna (em paralelo com a fonte ideal).
  • R_L = resistência de carga conectada aos terminais.
Como R_{\text{int}} e R_L estão em paralelo, a corrente fornecida pelo gerador divide-se entre as duas resistências. A corrente na carga I_L é dada pela regra da divisão de corrente:
I_L = I_s\;\frac{G_L}{G_L+G_{\text{int}}},
onde G_L = \dfrac{1}{R_L} e G_{\text{int}}=\dfrac{1}{R_{\text{int}}} são as condutâncias. Substituindo em termos de resistências obtemos, após simplificar:
I_L = I_s\;\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{int}}+R_L}.
Explicando essa fórmula em palavras: a fração da corrente que vai para a carga é \dfrac{R_{\text{int}}}{R_{\text{int}}+R_L}. Se R_{\text{int}} for muito maior que R_L, essa fração fica próxima de 1.

Passo 4

Definir um critério numérico de aproximação “ideal”. Uma forma prática é exigir que a corrente na carga difira da corrente ideal em no máximo uma tolerância relativa \delta (por exemplo 1\%, 5\%, 10\%). Definimos o erro relativo:
\text{erro relativo} = \frac{|I_s-I_L|}{I_s} = 1-\frac{I_L}{I_s}.
Usando a expressão de I_L,
\frac{I_L}{I_s}=\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{int}}+R_L}.
Queremos
1-\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{int}}+R_L} \le \delta.
Resolvendo para R_L:
1-\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{int}}+R_L} \le \delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{R_L}{R_{\text{int}}+R_L} \le \delta \quad\Longrightarrow\quad R_L \le \frac{\delta}{1-\delta}\,R_{\text{int}}.
Essa fórmula dá o valor máximo de R_L que garante que o desvio relativo não exceda \delta.

Passo 5

Aplicar a fórmula para R_{\text{int}}=10\\ \mathrm{M}\Omega e valores usuais de tolerância:
  • Para \delta=0{,}01 (erro máximo de 1\%):
R_L \le \frac{0{,}01}{1-0{,}01}\,R_{\text{int}}=\frac{0{,}01}{0{,}99}\times 10\cdot10^{6}\\ \Omega \approx 101010{,}1\\ \Omega \approx 101\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Para \delta=0{,}05 (erro máximo de 5\%):
R_L \le \frac{0{,}05}{0{,}95}\times 10\cdot10^{6}\\ \Omega \approx 526315{,}8\\ \Omega \approx 526\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Para \delta=0{,}10 (erro máximo de 10\%):
R_L \le \frac{0{,}1}{0{,}9}\times 10\cdot10^{6}\\ \Omega \approx 1111111{,}1\\ \Omega \approx 1{,}11\\ \mathrm{M}\Omega.
Também vale repetir a regra qualitativa compacta: para a fonte ser considerada ideal basta que R_L seja muito menor que R_{\text{int}}=10\\ \mathrm{M}\Omega; os valores numéricos acima mostram limites para tolerâncias comuns.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se R_L=100\\ \mathrm{k}\Omega então
\frac{I_L}{I_s}=\frac{10\cdot10^{6}}{10\cdot10^{6}+100\cdot10^{3}}=\frac{10{,}0\times10^{6}}{10{,}1\times10^{6}}\approx 0{,}990099,
portanto I_L\approx 9{,}90099\\ \mathrm{mA}, ou seja desvio de \approx 0{,}99\% — já muito próximo do ideal.

Resposta

R_L \ll 10\\ \mathrm{M}\Omega (regra qualitativa).\nPara erro \le 1\%: R_L \le 101\\ \mathrm{k}\Omega.\nPara erro \le 5\%: R_L \le 526\\ \mathrm{k}\Omega.\nPara erro \le 10\%: R_L \le 1{,}11\\ \mathrm{M}\Omega.

Exercícios relacionados