Suponha que a função T(x, y) = 40 / ((x^2 + y^2)^3), em que T é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano x y. Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a distribuição de temperatura no plano , onde está em graus Celsius e e em metros. A pergunta é: Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior aumento da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento dessa função. Matematicamente, o gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a e :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:
Similarmente, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, o gradiente é:
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento da temperatura no ponto .

Passo 5

Para entender a direção, podemos simplificar o gradiente dividindo pelos mesmos termos, o que nos dá:
A direção do vetor indica que a direção de maior crescimento está na direção radial afastando ou aproximando-se da origem, dependendo do sinal. Como temos um fator negativo, a direção de maior aumento é na direção contrária ao vetor .

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura no ponto é na direção do vetor , ou seja, oposta ao vetor posição .

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