Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear tenha sido transformada na seguinte matriz por operações elementares. Continue o processo de resolução e descreva o conjunto solução do sistema original. \left[\begin{array}{cccc}1 & 7 & 3 & -4 \\\\ 0 & 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz aumentada (já transformada por operações elementares):
Vou tomar as colunas como correspondentes, nesta ordem, a \,x_1, \,x_2, \,x_3 e ao termo independente (RHS). O que o enunciado pede é: continuar o processo de resolução e descrever o conjunto solução do sistema original.
Informações relevantes dadas:
Matriz aumentada com 4 linhas e 4 colunas (3 incógnitas \,x_1,x_2,x_3 e coluna de termos independentes).
As linhas da matriz já representam equações lineares do sistema (após operações elementares).]
Passo 2
Vou transformar cada linha da matriz em sua equação correspondente (sempre usando as incógnitas \,x_1,x_2,x_3):
Linha 1 corresponde a
x_1 + 7x_2 + 3x_3 = -4.
Linha 2 corresponde a
0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 -1\cdot x_3 = 3,
ou seja
x_2 - x_3 = 3.
Linha 3 corresponde a
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 1,
ou seja
0 = 1.
Linha 4 corresponde a
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = -2,
ou seja
x_3 = -2.
Passo 3
A equação obtida na linha 3 é \,0 = 1. Aqui é importante um fato simples e fundamental (vou explicar bem devagarinho): uma equação da forma
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + \cdots + 0\cdot x_n = b
com \,b\neq 0 é impossível de satisfazer — ela diz que zero é igual a um número não nulo. Portanto, se durante a eliminação aparece uma linha da forma [0\\ \\\ 0\\ \\ \dots\\ \\\ 0\mid b] com \,b\neq 0, o sistema é inconsistente, isto é, não tem solução. Isso decorre diretamente do significado das equações: não existe nenhum vetor (x_1,\dots,x_n) que satisfaça uma igualdade impossível como \,0=b quando \,b\neq 0.
As operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não-nulo e somar múltiplos de linhas) não mudam o conjunto de soluções do sistema. Como a forma atual da matriz mostra explicitamente a linha \,0=1, já podemos concluir que NÃO existe solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 4
Para reforçar a intuição (e porque é um bom exercício para ver por que isso gera contradição), faço uma pequena manipulação: trocar as linhas 3 e 4 (operação elementar válida) para colocar a linha com pivot em x_3 acima. A matriz ficaria
Esses valores (x_1=-5,\;x_2=1,\;x_3=-2) satisfazem as três primeiras equações (nas posições 1–3 no arranjo atual). Mas a última linha (que permaneceu) é exatamente \,0 = 1, que não é satisfeita por nenhum valor de (x_1,x_2,x_3). Logo, mesmo tendo uma “possível solução” para algumas linhas, não existe nenhuma solução que satisfaça simultaneamente todas as equações do sistema original. A contradição persiste: a existência da linha \,0=1 garante inconsistencia.]
Passo 5
Outra maneira de ver isso (mais teórica, mas curta): seja A a matriz dos coeficientes e b o vetor termo independente. O posto da matriz dos coeficientes \,A (número de pivôs nas colunas de coeficientes) é 3 aqui, enquanto o posto da matriz aumentada [A\mid b] é 4 por causa da linha [0\\\ 0\\\ 0\mid 1]. Como os postos são diferentes, pelo teorema de Rouché–Capelli o sistema é inconsistente. (Resumo: posto de A diferente do posto da matriz aumentada ⇒ sem solução.)