1. Suponha que a mesma quantidade de calor, vamos dizer 260 J , é transferida por condução de um reservatório T_{q}=400 \mathrm{~K} para outro a
    (a) 100 K
    (b) 250 K
    (c) 300 K
    (d) 398 K
Calcule a variação de entropia total em casa caso. Algum desses processos é reversível?
(a) \Delta S=1,95 \mathrm{~J} / \mathrm{K};
(b) \Delta S=0,39 \mathrm{~J} / \mathrm{K};
(c) \Delta S=0,2167 \mathrm{~J} / \mathrm{K};

Passo 1

O enunciado diz que transferimos Q=260\\ \mathrm{J} por condução de um reservatório a T_{\text{quente}}=400\\ \mathrm{K} para outro a diferentes temperaturas T_{\text{frio}}. O conteúdo aqui é a variação de entropia em cada reservatório e a entropia total, usando a definição
\Delta S_{\text{reservatório}} = \frac{Q_{\text{trocado}}}{T}\,.ó
Precisaremos aplicar a segunda lei na forma
\Delta S_{\text{total}} =\Delta S_{\text{quente}}+\Delta S_{\text{frio}} =-\frac{Q}{T_{\text{quente}}}+\frac{Q}{T_{\text{frio}}} =Q\Bigl(\frac{1}{T_{\text{frio}}}-\frac{1}{T_{\text{quente}}}\Bigr).

Passo 2

Derivando a expressão geral para a entropia total: quando o calor Q sai do reservatório quente, \Delta S_{\text{quente}}=-Q/T_{\text{quente}}; quando entra no frio, \Delta S_{\text{frio}}=+Q/T_{\text{frio}}. Logo
\Delta S_{\text{total}} =Q\Bigl(\frac{1}{T_{\text{frio}}}-\frac{1}{T_{\text{quente}}}\Bigr).

Passo 3

Caso (a): T_{\text{frio}}=100\\ \mathrm{K}.
\Delta S_{\text{total}} =260\Bigl(\frac{1}{100}-\frac{1}{400}\Bigr) =260\,(0,01-0,0025) =260\cdot0,0075 =1{,}95\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Caso (b): T_{\text{frio}}=250\\ \mathrm{K}.
\Delta S_{\text{total}} =260\Bigl(\frac{1}{250}-\frac{1}{400}\Bigr) =260\,(0,004-0,0025) =260\cdot0,0015 =0{,}39\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Caso (c): T_{\text{frio}}=300\\ \mathrm{K}.
\Delta S_{\text{total}} =260\Bigl(\frac{1}{300}-\frac{1}{400}\Bigr) =260\,(0,003333\ldots-0,0025) =260\cdot0,0008333\ldots \approx0{,}2167\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Caso (d): T_{\text{frio}}=398\\ \mathrm{K}.
\Delta S_{\text{total}} =260\Bigl(\frac{1}{398}-\frac{1}{400}\Bigr) \approx260\,(0,0025126-0,0025) =260\cdot0,0000126 \approx0{,}00327\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Um processo é reversível se e só se \Delta S_{\text{total}}=0. Aqui todas as quatro variações de entropia total são positivas (maiores que zero), logo nenhum desses processos é reversível.

Resposta

(a) \Delta S_{\text{total}}=1{,}95\\ \mathrm{J/K}
(b) \Delta S_{\text{total}}=0{,}39\\ \mathrm{J/K}
(c) \Delta S_{\text{total}}=0{,}2167\\ \mathrm{J/K}
(d) \Delta S_{\text{total}}\approx0{,}00327\\ \mathrm{J/K}
Nenhum dos processos é reversível.

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