Suponha que uma operação de trefilação de barra possa ser realizada em um ou em dois passes. Se os ângulos da matriz forem os mesmos, também como a redução total for a mesma, explique qual é o comportamento das forças de trefilação?

Passo 1

O enunciado diz que uma operação de trefilação pode ser feita em um passe único ou em dois passes. As duas situações têm: (i) os ângulos dos matrizes são os mesmos em cada passe; (ii) a redução total da seção (redução acumulada entre início e fim) é exatamente a mesma. A pergunta é: qual é o comportamento das forças de trefilação quando se compara o caso de um passe único com o caso de dois passes?
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas ou implícitas):
  • A redução geométrica total é a mesma nos dois esquemas.
  • Os ângulos das matrizes não mudam entre os esquemas.
  • Queremos comparar as forças (pico/instantâneas) e o trabalho de deformação entre um passe único e dois passes.

Passo 2

Vamos definir as variáveis que vamos usar (isso ajuda a escrever fórmulas claras):
  • d_0 = diâmetro inicial da barra antes de trefilar.
  • d_f = diâmetro final depois de todo o processo (após um passe único ou após o segundo passe quando são dois passes).
  • A_0=\dfrac{\pi d_0^2}{4} e A_f=\dfrac{\pi d_f^2}{4} são as áreas iniciais e finais.
  • Verdadeira deformação (true strain) associada à redução total: \varepsilon_t=\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A_f}\right)=2\ln\!\left(\dfrac{d_0}{d_f}\right).
  • No caso de dois passes vamos ter uma área intermediária A_1 (ou diâmetro d_1) e verdadeiras deformações por passe \varepsilon_1 e \varepsilon_2 tais que \varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon_t.
Observação importante: a verdadeira deformação é aditiva em processos sucessivos, por isso escrevemos \varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon_t.

Passo 3

Modelagem simples do comportamento do material durante trefilação (explicação didática):
  • Durante trefilação o material sofre deformação plástica. Uma relação prática e bastante usada para tensão verdadeira em função da deformação verdadeira é a lei de endurecimento do tipo potência: \sigma(\varepsilon)=K\,\varepsilon^{\,n},onde K e n são constantes do material ( n é o expoente de encruamento; normalmente 0<n<1).
    Explicando: \sigma(\varepsilon) é a tensão verdadeira necessária para manter a deformação quando a peça já tem deformação \varepsilon. Para materiais que encruam, \sigma aumenta com \varepsilon.
  • O trabalho de deformação por unidade de volume (energia plástica por volume) para levar o material de \varepsilon=0 até \varepsilon é w(\varepsilon)=\int_{0}^{\varepsilon}\sigma(\varepsilon')\,\mathrm{d}\varepsilon'.Isso é físico: trabalho = integral da tensão em relação à deformação.

Passo 4

Calcular o trabalho de deformação para o passe único (detalhando as integrais):
  • Para o passe único, a verdadeira deformação final é \varepsilon_t. Substituindo a lei de potência: w_{1}=\int_{0}^{\varepsilon_t} K\,\varepsilon^{\,n}\,\mathrm{d}\varepsilon =\frac{K}{n+1}\,\varepsilon_t^{\,n+1}.
Expliquei: integramos \varepsilon^n de 0 a \varepsilon_t e obtemos o fator \dfrac{1}{n+1}.

Passo 5

Calcular o trabalho de deformação quando se usa dois passes:
  • Suponha que os dois passes tenham deformações verdadeiras \varepsilon_1 e \varepsilon_2 com \varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon_t. A energia total por unidade de volume é a soma das energias dos dois passes: w_{2}=\int_{0}^{\varepsilon_1} K\,\varepsilon^{\,n}\,\mathrm{d}\varepsilon +\int_{0}^{\varepsilon_2} K\,\varepsilon^{\,n}\,\mathrm{d}\varepsilon =\frac{K}{n+1}\left(\varepsilon_1^{\,n+1}+\varepsilon_2^{\,n+1}\right).
  • Agora use uma propriedade simples de funções potencia: para n+1>1 (isto é, para n>-0, o que vale para todos os metais encruantes, onde n>0), a função x\mapsto x^{n+1} é convexa. Então, para x,y>0 com x+y fixo, (x+y)^{n+1} > x^{n+1}+y^{n+1}.Aplicando com x=\varepsilon_1 e y=\varepsilon_2, vem \varepsilon_t^{\,n+1} > \varepsilon_1^{\,n+1}+\varepsilon_2^{\,n+1}.Multiplicando por K/(n+1) obtemos w_{1}=\frac{K}{n+1}\varepsilon_t^{\,n+1} \;>\; \frac{K}{n+1}\left(\varepsilon_1^{\,n+1}+\varepsilon_2^{\,n+1}\right)=w_{2}.
  • Conclusão matemática direta: para um material que encrua ( n>0), o trabalho de deformação por unidade de volume é menor se a mesma deformação total for dividida em dois passes do que se for feita em um único passe. Em palavras simples: dividir a deformação reduz a energia plástica necessária por causa do aumento não linear da tensão com a deformação.

Passo 6

Como isso se traduz em forças de trefilação (passo essencial, explicado passo a passo):
  • A força de trefilação instantânea é proporcional à tensão média que o material opõe na zona de deformação multiplicada pela área que está sendo puxada. Uma forma prática de ver isso é definir uma tensão média no passe como \bar{\sigma}(\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{\varepsilon}\sigma(\varepsilon')\,\mathrm{d}\varepsilon'.Essa \bar{\sigma} é a tensão média associada à deformação até \varepsilon. Para nossa lei de potência: \bar{\sigma}(\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{K}{n+1}\,\varepsilon^{\,n+1}=\frac{K}{n+1}\,\varepsilon^{\,n}.
  • Para o passe único a tensão média (e, portanto, a força necessária) associa-se a \varepsilon_t; para dois passes cada passe tem tensões médias mais baixas porque \varepsilon_1<\varepsilon_t e \varepsilon_2<\varepsilon_t. Assim, a força de trefilação em cada passe do regime de dois passes é menor que a força necessária no caso de um passe único. Além disso, o pico de força que a máquina precisa desenvolver é menor quando se divide a redução.
  • Resumindo de forma direta: dividir a redução total em dois passes reduz a tensão média exigida por passe (devido ao encruamento ser não linear) e consequentemente reduz as forças de trefilação máximas exigidas.

Passo 7

Efeito da fricção e do ângulo da matriz (por que a hipótese “ângulos iguais” importa):
  • A força total de trefilação não vem só da energia de deformação: existe também contribuição devido à fricção entre o metal e a matriz. Essa contribuição depende do coeficiente de atrito, do ângulo da matriz e do contato efetivo.
  • O enunciado fixa os ângulos das matrizes iguais entre os casos. Assim, a componente de fricção por passe será, qualitativamente, a mesma função do comportamento de contato (mas haverá duas passagens sobre superfícies, no caso de dois passes). Em termos práticos:
    • Dividir a redução em dois passes aumenta o número de vezes que o material escorrega na superfície da matriz (portanto poderia aumentar a energia dissipada por fricção acumulada).
    • Contudo, a redução no esforço de deformação plástico (mostrada nos passos anteriores) geralmente domina, de modo que a força de trefilação necessária em cada passe cai bastante, e o pico de força para acionar o trefilador fica menor.
  • Em muitas análises práticas, o ganho em reduzir a carga de deformação (facilitar a operação, reduzir risco de ruptura, usar máquinas menores) supera o acréscimo de perdas por fricção ao usar passes múltiplos. Por isso é comum dividir grandes reduções em vários passes.

Passo 8

Interpretação prática e recomendações rápidas (tom de amigo e incentivo):
  • Conclusão prática: se a redução total é a mesma e os ângulos das matrizes são os mesmos, então realizar a trefilação em dois passes reduz a força requerida em cada passe e reduz o pico de força em comparação com um passe único. Isso ocorre porque o material encrua: a tensão verdadeira cresce com a deformação, e repartir a deformação em dois passos diminui a tensão média e o trabalho plástico total.
  • Observação final: sempre verificar efeito da fricção e custos operacionais — às vezes muitos passes fazem o processo lento ou aumentam desgaste da matriz, mas em termos de forças e energia de deformação pura, dois passes são mais favoráveis que um com a mesma redução total.

Resposta

Ao dividir a redução total em dois passes (com os mesmos ângulos de matriz) as forças de trefilação necessárias em cada passe e o pico de força na máquina são menores do que no caso de um único passe com a mesma redução total; o trabalho plástico total por unidade de volume também diminui.

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