Suponha que uma pequena cidade use um plebiscito para superar o problema do comportamento do free rider e determine como os moradores poderiam valorar um novo sistema de filtragem para o sistema público de fornecimento de água. Os resultados da votação são agregados para dois bairros da cidade, produzindo as seguintes funções de demanda:
Bairro 1:
Bairro 2:
;
onde Q é a porcentagem esperada de cobre para ser filtrado pelo sistema e P é o preço em milhões de reais.
b) Se a oferta de mercado para esse sistema for
, qual seria o preço e a quantidade de equilíbrio para a cidade?
Bairro 1:
Bairro 2:
onde Q é a porcentagem esperada de cobre para ser filtrado pelo sistema e P é o preço em milhões de reais.
b) Se a oferta de mercado para esse sistema for
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre como uma cidade está usando um plebiscito para decidir sobre a implementação de um novo sistema de filtragem de água. Temos as funções de demanda de dois bairros e a função de oferta de mercado. Nosso objetivo aqui é encontrar o preço e a quantidade de equilíbrio para a cidade. Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de mercado, onde a quantidade demandada iguala a quantidade oferecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as funções de demanda dos dois bairros:
- Bairro 1:
- Bairro 2:
Aqui,
representa a porcentagem esperada de cobre a ser filtrado, e
é o preço em milhões de reais.
Passo 3
Como estamos considerando o mercado da cidade como um todo, vamos supor que o preço
seja o mesmo para os dois bairros. Assim, podemos igualar os preços
e
a
.
Então, as funções de demanda ficam:
Passo 4
Agora, vamos somar as demandas dos dois bairros para obter a demanda total da cidade:
Passo 5
Temos também a função de oferta de mercado:
Para encontrar o equilíbrio, precisamos igualar a demanda total à oferta. Mas primeiro, vamos expressar
em termos de
na função de oferta.
Passo 6
Vamos reorganizar a função de oferta para expressar
em termos de
:
Passo 7
Agora, igualamos a demanda total à oferta para encontrar o equilíbrio:
Vamos substituir
na equação da demanda:
Passo 8
Vamos resolver a equação para
:
Passo 9
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na função de oferta para encontrar
:
Resposta
O preço de equilíbrio é aproximadamente R$ 8,21 milhões e a quantidade de equilíbrio é cerca de 14,74% de cobre filtrado pelo sistema.