Suponha que uma pequena cidade use um plebiscito para superar o problema do comportamento do free rider e determine como os moradores poderiam valorar um novo sistema de filtragem para o sistema público de fornecimento de água. Os resultados da votação são agregados para dois bairros da cidade, produzindo as seguintes funções de demanda:
Bairro 1: Q=160-20 P1 e
Bairro 2: Q=60-5 P2;
onde Q é a porcentagem esperada de cobre para ser filtrado pelo sistema e P é o preço em milhões de reais.
b) Se a oferta de mercado para esse sistema for P=6+0,15 Q, qual seria o preço e a quantidade de equilíbrio para a cidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre como uma cidade está usando um plebiscito para decidir sobre a implementação de um novo sistema de filtragem de água. Temos as funções de demanda de dois bairros e a função de oferta de mercado. Nosso objetivo aqui é encontrar o preço e a quantidade de equilíbrio para a cidade. Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de mercado, onde a quantidade demandada iguala a quantidade oferecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as funções de demanda dos dois bairros:
  • Bairro 1:
  • Bairro 2:
Aqui, representa a porcentagem esperada de cobre a ser filtrado, e é o preço em milhões de reais.

Passo 3

Como estamos considerando o mercado da cidade como um todo, vamos supor que o preço seja o mesmo para os dois bairros. Assim, podemos igualar os preços e a .
Então, as funções de demanda ficam:

Passo 4

Agora, vamos somar as demandas dos dois bairros para obter a demanda total da cidade:
Qtotal = Q1 + Q2
Qtotal = (160 - 20P) + (60 - 5P)
Qtotal = 220 - 25P

Passo 5

Temos também a função de oferta de mercado:
P = 6 + 0,15Q
Para encontrar o equilíbrio, precisamos igualar a demanda total à oferta. Mas primeiro, vamos expressar em termos de na função de oferta.

Passo 6

Vamos reorganizar a função de oferta para expressar P = 6 + 0,15Q em termos de :

Passo 7

Agora, igualamos a demanda total à oferta para encontrar o equilíbrio:
Qtotal = 220 - 25P
P = 6 + 0,15Q
Vamos substituir Q = 220 - 25(6 + 0,15Q) na equação da demanda:

Passo 8

Vamos resolver a equação para Q = 220 - 25 times 6 - 25 times 0,15Q :
Q = 220 - 150 - 3,75Q
Q + 3,75Q = 70
4,75Q = 70
Q = 704,75
Q approx 14,7368

Passo 9

Agora que encontramos P = 6 + 0,15 times 14,7368 , vamos substituir esse valor na função de oferta para encontrar P = 6 + 2,2105 :
P approx 8,2105

Resposta

O preço de equilíbrio é aproximadamente R$ 8,21 milhões e a quantidade de equilíbrio é cerca de 14,74% de cobre filtrado pelo sistema.

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