Suponha que X é uma população tal que X sim N(mu, sigma^2), em que mu e sigma^2 são desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu valores sumi=1^15 xi=8,7 e sumi=1^15 xi^2=27,3
Determinar um IC com gamma=95 % para mu. Utilize a Tabela 2 .
R. (a) IC(sigma^2, 0.98)=[0,75 ; 40,74] e (b) IC(mu, 0.95)=[-0,084 ; 1,244].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um Intervalo de Confiança (IC) de 95% para a média mu de uma população que segue uma distribuição normal, ou seja, X sim N(mu, sigma^2). A gente sabe que tanto a média mu quanto a variância sigma^2 são desconhecidas. Para isso, temos uma amostra de tamanho 15 com a soma dos valores sumi=1^15 xi=8,7 e a soma dos quadrados sumi=1^15 xi^2=27,3. Vamos usar a distribuição t de Student para encontrar esse intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral, que é a soma dos valores dividida pelo número de observações. A fórmula é:
barx = sumi=1^n xin
Nesse caso, n = 15 e sum xi = 8,7. Então:
barx = 8,715 = 0,58

Passo 3

Agora, precisamos calcular a variância amostral s^2. A fórmula para a variância amostral é:
s^2 = sumi=1^n xi^2 - (sum xi)^2nn - 1
Substituindo os valores:
s^2 = 27,3 - (8,7)^21514
Primeiro, calculamos (8,7)^2:
8,7^2 = 75,69
Então:
s^2 = 27,3 - 75,691514 = 27,3 - 5,04614 = 22,25414 approx 1,5896

Passo 4

Agora que temos a variância amostral, podemos encontrar o erro padrão da média. A fórmula do erro padrão ( SE) é:
SE = sraizn
Primeiro, calculamos s, que é a raiz quadrada da variância:
s = raiz1,5896 approx 1,2618
Então:
SE = 1,2618raiz15 approx 1,26183,87298 approx 0,3259

Passo 5

Para construir o intervalo de confiança, usamos a distribuição t de Student porque a variância é desconhecida e a amostra é pequena ( n < 30). Precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para um nível de confiança de 95% e df = n - 1 = 14 graus de liberdade. Consultando a tabela t de Student, encontramos que t0,025(14) approx 2,145.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança para a média:
IC = barx pm talpha/2 times SE
Substituindo os valores:
IC = 0,58 pm 2,145 times 0,3259
Calculando o produto:
2,145 times 0,3259 approx 0,698
Então:
IC = [0,58 - 0,698 ; 0,58 + 0,698] = [-0,118 ; 1,278]

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média mu é aproximadamente [-0,118 ; 1,278].

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