Suponha f(2)=-3, f^{\prime}(2)=-2, f^{\prime}(4)=-5, g(2)=4, g^{\prime}(2)=7 e g^{\prime}(-3)=10. Calcule h^{\prime}(2) nos seguintes casos:
h(x)=x^{2} f(x)-[g(x)]^{2}

Passo 1

O enunciado define
h(x) = x^2 f(x) - \bigl(g(x)\bigr)^2
e pede h'(2). Aqui vamos aplicar a regra do produto para x^2 f(x) e a regra da cadeia para \bigl(g(x)\bigr)^2.

Passo 2

Para derivar x^2 f(x) usamos a regra do produto: se u(x)=x^2 e v(x)=f(x), então
\bigl(x^2 f(x)\bigr)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x\,f(x) + x^2\,f'(x).

Passo 3

Para derivar \bigl(g(x)\bigr)^2 usamos a regra da cadeia: se w(x)=g(x) então
\bigl(g(x)^2\bigr)' = 2\,g(x)\,g'(x).

Passo 4

Combinando,
h'(x) = 2x\,f(x) + x^2\,f'(x) \;-\; 2\,g(x)\,g'(x).
Logo em x=2:
h'(2) = 2\cdot2\cdot f(2) + 2^2\cdot f'(2) - 2\cdot g(2)\cdot g'(2).
Substituindo f(2)=-3, f'(2)=-2, g(2)=4 e g'(2)=7, temos
h'(2) = 4\cdot(-3) + 4\cdot(-2) - 2\cdot4\cdot7 = -12 -8 -56 = -76.

Resposta

-76

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