Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número x de empregados, por uma função derivável p(x), em que p(x) é medida em milhares e x em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função M(x) = p(x) / x, e pode-se mostrar que o número x_0 de empregados que maximiza a função M(x) é aquele para o qual M'(x0) = 0.
© Calcule p'(x) supondo que p(x) = 2x^2 / (x^2 + 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que representa a quantidade de bens produzidos por uma fábrica em função do número de empregados. A função é . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar o regra do quociente, que é uma ferramenta básica em cálculo para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Agora, vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 3

Com as derivadas das partes identificadas, aplicamos a regra do quociente, que diz:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Multiplica por :
  1. Multiplica por :
  1. Subtrai as duas expressões:
Então, o numerador simplificado é .

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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