Suponha um reator PFR (plug flow reactor) em que se deseja reciclar parte do produto, adicionando-se esta parte reciclada à alimentação do reator. Se a vazão reciclada é v_{R} e a alimentação (antes do ponto de mistura com a corrente reciclada) é \mathrm{v}_{0}, define-se a razão \mathrm{R}=\mathrm{v}_{\mathrm{R}} / \mathrm{v}_{0}.
Assinale a alternativa que representa corretamente a relação entre a composição do produto (reciclado) \mathrm{C}_{2}, a composição da alimentação (antes do ponto de mistura) \mathrm{C}_{0} e a composição da alimentação após o ponto de mistura \mathrm{C}_{1} :
(A) C_{1}=\frac{C_{0}+R C_{2}}{1+R}
(B) C_{1}=\frac{C_{0}+C_{2}}{1+R}
(C) C_{1}=\frac{R C_{0}+C_{2}}{1+R}
(D) C_{1}=\frac{R C_{0}+C_{2}}{1+C_{2}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a relação correta entre as composições:
  • Vazão de alimentação antes da mistura: \mathrm{v}_{0}.
  • Vazão reciclada (produto que volta para a alimentação): \mathrm{v}_{R}.
  • Define-se a razão de reciclo \displaystyle R = \frac{\mathrm{v}_{R}}{\mathrm{v}_{0}}.
  • Composição da alimentação antes da mistura: \mathrm{C}_{0}.
  • Composição do produto (corrente reciclada): \mathrm{C}_{2}.
  • Composição da alimentação após a mistura (corrente que entra no reator): \mathrm{C}_{1}.
    A tarefa é escrever a relação entre \mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{0}, \mathrm{C}_{2} e R, e identificar qual alternativa do enunciado está correta.

Passo 2

Princípio físico a usar (explicado com calma): conservação da massa do componente que estamos acompanhando no ponto de mistura, no regime estacionário. Isso significa que a taxa de massa (ou mols) do componente que entra nesse ponto pela alimentação fresca mais a taxa que entra pela corrente reciclada deve ser igual à taxa que sai pelo fluxo combinado que segue para o reator. Em termos de vazões volumétricas e concentrações (assumindo densidade constante, mistura perfeita e regime estacionário):
\text{taxa entrando} = \text{taxa saindo}
\mathrm{v}_{0}\,\mathrm{C}_{0} + \mathrm{v}_{R}\,\mathrm{C}_{2} = (\mathrm{v}_{0}+\mathrm{v}_{R})\,\mathrm{C}_{1}.
Aqui cada termo tem interpretação simples:
  • \mathrm{v}_{0}\,\mathrm{C}_{0} é a taxa (por tempo) do componente vindo da alimentação fresca;
  • \mathrm{v}_{R}\,\mathrm{C}_{2} é a taxa do componente vindo do reciclado;
  • (\mathrm{v}_{0}+\mathrm{v}_{R}) é a vazão total após mistura, e multiplicada por \mathrm{C}_{1} dá a taxa que segue para o reator.

Passo 3

Agora isolamos \mathrm{C}_{1} na equação de balanço. A partir de
\mathrm{v}_{0}\,\mathrm{C}_{0} + \mathrm{v}_{R}\,\mathrm{C}_{2} = (\mathrm{v}_{0}+\mathrm{v}_{R})\,\mathrm{C}_{1},
dividimos ambos os lados por (\mathrm{v}_{0}+\mathrm{v}_{R}) para obter \mathrm{C}_{1}:
\mathrm{C}_{1} = \frac{\mathrm{v}_{0}\,\mathrm{C}_{0} + \mathrm{v}_{R}\,\mathrm{C}_{2}}{\mathrm{v}_{0}+\mathrm{v}_{R}}.

Passo 4

Expressão em termos de R. Como \displaystyle R=\frac{\mathrm{v}_{R}}{\mathrm{v}_{0}}, podemos dividir numerador e denominador por \mathrm{v}_{0}. Fazendo isso:
\mathrm{C}_{1} = \frac{\mathrm{v}_{0}\,\mathrm{C}_{0} + \mathrm{v}_{R}\,\mathrm{C}_{2}}{\mathrm{v}_{0}+\mathrm{v}_{R}} = \frac{\mathrm{v}_{0}\left(\mathrm{C}_{0} + \frac{\mathrm{v}_{R}}{\mathrm{v}_{0}}\mathrm{C}_{2}\right)}{\mathrm{v}_{0}\left(1+\frac{\mathrm{v}_{R}}{\mathrm{v}_{0}}\right)} = \frac{\mathrm{C}_{0} + R\,\mathrm{C}_{2}}{1+R}.
Essa é a forma prática: \mathrm{C}_{1} é a média ponderada das concentrações \mathrm{C}_{0} e \mathrm{C}_{2}, ponderadas pelas vazões relativas.

Passo 5

Checagens rápidas (para ganhar confiança):
  • Se não houver reciclo ( R=0), então \mathrm{C}_{1}=\mathrm{C}_{0} — faz sentido.
  • Se a reciclagem dominar ( R grande), \mathrm{C}_{1} aproxima-se de \mathrm{C}_{2} — também faz sentido.
  • Exemplo numérico: \mathrm{v}_{0}=1, \mathrm{v}_{R}=0,5 ( R=0,5), \mathrm{C}_{0}=2, \mathrm{C}_{2}=10:
\mathrm{C}_{1}=\frac{2 + 0,5\cdot 10}{1+0,5}=\frac{2+5}{1,5}=\frac{7}{1,5}\approx 4{,}667,
o que coincide com o balanço direto (1\cdot2+0{,}5\cdot10)/(1+0{,}5).

Resposta

(A)

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