Suponha que X seja uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} C\left(4 x-2 x^{2}\right), & \text { se } 0<x<2 \\\\ 0, & \text { se } \quad \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
(a) Qual é o valor de C ?
(b) Determine P\{X>1\}
(c) Qual é a função acumulada de probabilidade de X ?
\text { R. (a) } C=\frac{3}{8} \text { (b) } \frac{1}{2} \text { \text{(c)} } F(x)=\left\{\begin{array}{cr} 0, & x \leq 0 \\ \frac{3}{8}\left(2 x^{2}-\frac{2}{3} x^{3}\right), & 0<x<2 \\ 1, & x \geq 2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável contínua X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} C\bigl(4x-2x^2\bigr),&0<x<2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos usar a condição de normalização para achar C\], depois integrar a densidade para obter \(P\{X>1\} e finalmente construir a função acumulada F(x).

Passo 2

Para determinar C impomos
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1,
mas como f(x)\neq0 só em 0<x<2, basta
\int_{0}^{2}C\bigl(4x-2x^2\bigr)\,\mathrm{d}x=1.
Calculando a integral:
\int_{0}^{2}(4x-2x^2)\,\mathrm{d}x =\Bigl[2x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Bigr]_{0}^{2} =\bigl(2\cdot4-\tfrac{2}{3}\cdot8\bigr)-0 =8-\tfrac{16}{3} =\tfrac{8}{3}.
Logo
C\cdot\tfrac{8}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac{3}{8}.

Passo 3

Para P\{X>1\} usamos
P\{X>1\}=\int_{1}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{1}^{2}\tfrac{3}{8}\bigl(4x-2x^2\bigr)\,\mathrm{d}x =\tfrac{3}{8}\Bigl[2x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Bigr]_{1}^{2}.
Avaliaremos a expressão:
\Bigl(2\cdot4-\tfrac{2}{3}\cdot8\Bigr) -\Bigl(2\cdot1-\tfrac{2}{3}\cdot1\Bigr) =\Bigl(\tfrac{8}{3}\Bigr)-\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr) =\tfrac{4}{3}.
Multiplicando por \tfrac{3}{8}
P\{X>1\}=\tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{4}{3}=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

A função acumulada é
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t.
Para x\le0 não há massa à esquerda, logo F(x)=0. Para 0<x<2:
F(x)=\int_{0}^{x}\tfrac{3}{8}\bigl(4t-2t^2\bigr)\,\mathrm{d}t =\tfrac{3}{8}\Bigl[2t^2-\tfrac{2}{3}t^3\Bigr]_{0}^{x} =\tfrac{3}{8}\Bigl(2x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Bigr).
Para x\ge2 toda a probabilidade já foi acumulada, então F(x)=1.

Resposta

(a) \displaystyle C=\tfrac{3}{8}.
(b) \displaystyle P\{X>1\}=\tfrac{1}{2}.
(c) F(x)= \begin{cases} 0,&x\le0,\\\ \displaystyle \tfrac{3}{8}\Bigl(2x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Bigr),&0<x<2,\\\\ 1,&x\ge2. \end{cases}

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